Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3077] ens cachan MP 2010 Soient \(T\in\mathbf{R}_+^*\) et \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique. On pose \(a_0=\displaystyle{1\over T}\int_0^Ta(x)\,dx\). Pour \(\varepsilon>0\), soit \(a_\varepsilon:x\mapsto a(x/\varepsilon)\). Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0^+}\displaystyle\int_0^1a_\varepsilon(u)\varphi(u)\, du=a_0\displaystyle\int_0^1\varphi(u)\,du\).

   On suppose désormais qu’il existe \(\alpha>0\) tel que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(a(x)\geqslant\alpha\). Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\).

2. Soit \(\varepsilon>0\). Montrer qu’il existe une unique \(u_\varepsilon\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) solution du problème \((a_\varepsilon u')'=f\) et \(u(0)=u(1)=0\).

3. Que dire de \(u_\varepsilon\) lorsque \(\varepsilon\rightarrow0^+\) ?

[planches/ex1090] ens PC 2016 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(k\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\) tels que, pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|f(x)|\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-kx)\).

1. Existe-t-il \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''-u=f\) et \(u(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?

2. Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''=(1+f)u\). Donner un équivalent de \(u(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex6022] polytechnique PC 2020 Soit \(f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable, positive, décroissante et non intégrable sur \(\left[0,+\infty\right[\).

Soit \(y:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), non identiquement nulle et vérifiant \(y''+fy=0\).

1. Est-il possible d’avoir \(y\geqslant 0\) ? On pourra considérer \(E=fy^2+(y')^2\).

2. Soit \(t_0>0\) tel que \(y(t_0)=0\). Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\forall t\in[t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon]\setminus\{t_0\}\), \(y(t)\neq 0\).

3. Déduire de la première question que \(y\) s’annule. Montrer que \(y\) admet une infinité de zéros. Comment interpréter le résultat d’un point de vue physique ?

[planches/ex2502] centrale MP 2017 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\). On considère l’équation différentielle \((\mathscr{E})\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).

Pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(y_\alpha\) l’unique solution de \((\mathscr{E})\) vérifiant \(y_\alpha(0)=1\) et \(y_\alpha'(0)=\alpha\).

1. Montrer que \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_0(x)y_0'(x)>0\). Montrer que \(y_0\) est strictement croissante.

2. Montrer que \(\forall\alpha\in\mathbf{R}\), \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_\alpha(x)=y_0(x)\left(\displaystyle\int_0^x{\alpha\over y_0^2(t)}\,dt\right)\).

3. Montrer qu’il existe \(\alpha_1<0\) tel que l’on ait, pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), l’équivalence entre « \(y_\alpha\) s’annule sur \(\mathbf{R}_+\) » et « \(\alpha<\alpha_1\) ». Calculer \(\alpha_1\).

[oraux/ex3187] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soit, pour \(a\in\mathbf{R}\), \((E_a)\) : \((x-1)y''(x)-y'(x)+4a(x-1)^3y(x)=0\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour qu’il existe une solution non nulle de \((E_a)\) s’annulant en 0 et en 1. On note \((a_k)_{k\geqslant 0}\) la suite strictement croissante des réels ainsi trouvés.

   Soit, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(\varphi_k:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt{a_k}x(x-2))\).

2. Si \((f,g)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})^2\), on pose \(\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_0^12(1-x)f(x)g(x)\,dx\). Montrer que cette application définit un produit scalaire sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\). Calculer \(\langle\varphi_k,\varphi_j\rangle\) pour \((j,k)\in\mathbf{N}^2\).

3. Soit \((b_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\). On suppose que la série de terme général \(b_n\) est absolument convergente. Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_k\varphi_k(x)\). Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}\). Exprimer les \(b_k\) à l’aide d’une intégrale faisant intervenir \(F\) et les \((\varphi_n)_{n\geqslant 0}\).