Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2799] mines 2003

1. Soit \((E)\) : \(y''+y=f(x)\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). Montrer que : \[g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,dt\] est une solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\).

2. Soit \(\sigma>0\). On cherche une solution du problème de Cauchy \((E')\) : \(y''+y=\sigma y^2\), \(y(0)=1/2\) et \(y'(0)=0\). Soit \(b>0\) tel que \(\sigma b<1/2\). Soit \((y_n)\) la suite définie par : \[y_0(x)={1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\quad\hbox{et}\quad\forall n\geqslant 1,\quad y_n''+y_n=\sigma y_{n-1},\ y_n(0)=y_n'(0)=0.\]

   1. Exprimer \(y_n\) à l’aide de \(y_{n-1}\) et d’une intégrale.

   2. Montrer : \(|y_n(x)-y_{n-1}(x)|\leqslant\displaystyle{1\over2}\,{(\sigma x)^n\over n\,!}\).

   3. Montrer que \((E')\) a une unique solution sur \([0,b]\).

[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).

[oraux/ex2974] mines PSI 2008 Soient \(p\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) : \(y''+py=0\). Soit \(f\) une solution de \((E)\).

1. On suppose : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x)>0\). Montrer que \(f\) est non bornée.

2. On suppose qu’il existe un unique \(a\in\mathbf{R}\) tel que \(f(a)=0\). Montrer que \(f\) est non bornée.

3. On suppose que \(f\) est bornée. Montrer que \(f\) est identiquement nulle.

[oraux/ex4961] ens PC 2012 Soient \(a,b,c,d\) dans \({\cal C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\). On suppose : \(a>0\), \(c<0\) et \(d>0\). Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(ay''+by'+cy=d\), \(y(0)=0\).

1. Si \(y'(0)=0\), montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}^{+*}\), \(y(t)>0\).

2. On suppose qu’il existe \(t_1>0\) tel que \(y(t_1)>0\). Montrer : \(\forall t\geqslant t_1\), \(y(t)\geqslant 0\).

[oraux/ex2981] centrale MP 2008 (avec Maple)

1. Résoudre \(y''+\displaystyle{y\over x^2}=0\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) à l’aide de Maple. Existe-t-il des solutions bornées ?

2. Soit \((E)\) : \(y''+\displaystyle{y\over x^2+4x+3}=0\). On se donne une solution \(f\) bornée de \((E)\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). Montrer que \(f'\) admet une limite nulle en \(+\infty\). Existe-t-il des solutions non bornées sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?