[planches/ex9340] ens PSI 2023 Soient \(a>0\) et \(q \in\mathscr{C}^2(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}^{+*})\) telle que \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t = +\infty\).
[planches/ex9340]
Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\)
Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\) qui n’ont pas de zéros en commun. On pose \(\Phi = y_1 + iy_2\) et \(\Phi (a) = r_0e^{i\theta_0}\).
Montrer que \(\forall x \geqslant a\), \(\Phi (x) = e^{\Psi(x)}\) où \(\Psi(x)=\displaystyle\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \,{\rm d}t + \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (r_0) + i\theta_0\).
Montrer que l’on peut écrire \(y_1(x) =r(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta(x))\) et \(y_2(x) =r(x) \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta(x))\) où \(r(x) = \sqrt{y_1^2(x) + y_2^2(x)}\) et \(\theta (x) = \theta_0 +\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{y_1y'_2-y_2y'_1}{y_1^2+ y_2^2}\).
On pose \(x \mapsto f(x) =\displaystyle\int_a^{x} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\left[a,+\infty\right[\) sur \(\mathbf{R}^+\).
Soit \(y\) une solution de \((E)\), non identiquement nulle. On pose \(Y = y\mathbin{\circ} f^{-1}\). Montrer que \(Y'' +vY' +Y =0\) où \(v~: t \mapsto\displaystyle\frac{q'(f^{-1}(t))}{2 (q(f^{-1}(t)))^{3/2}}\).
Montrer que \(Y\) et \(Y'\) n’ont pas de zéro en commun et que l’on peut écrire \(Y = r \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits (\theta)\) et \(Y'= r \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta)\) où \(r\), \(\theta\) sont des fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\).
Montrer que \((r^2)' = -2v r^2 \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(\theta)\). En déduire que \(y\) et \(y'\) sont bornées.
[oraux/ex3187] centrale PC 2011 (avec Maple)
[oraux/ex3187]
Maple
Soit, pour \(a\in\mathbf{R}\), \((E_a)\) : \((x-1)y''(x)-y'(x)+4a(x-1)^3y(x)=0\).
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour qu’il existe une solution non nulle de \((E_a)\) s’annulant en 0 et en 1. On note \((a_k)_{k\geqslant 0}\) la suite strictement croissante des réels ainsi trouvés.
Soit, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(\varphi_k:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt{a_k}x(x-2))\).
Si \((f,g)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})^2\), on pose \(\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_0^12(1-x)f(x)g(x)\,dx\). Montrer que cette application définit un produit scalaire sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\). Calculer \(\langle\varphi_k,\varphi_j\rangle\) pour \((j,k)\in\mathbf{N}^2\).
Soit \((b_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\). On suppose que la série de terme général \(b_n\) est absolument convergente. Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_k\varphi_k(x)\). Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}\). Exprimer les \(b_k\) à l’aide d’une intégrale faisant intervenir \(F\) et les \((\varphi_n)_{n\geqslant 0}\).
[planches/ex6154] ens lyon MP 2021 Soit \(k\in\mathbf{R}\). Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) vérifiant \(y''=(x^3+kx)y\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est majoré et non minoré.
[planches/ex6154]
[concours/ex3343] centrale M 1993 On considère l’équation différentielle \((E)\) : \[y''+y'+p(x)y=0.\] Trouver \(p(x)\) pour que \((E)\) admette deux solutions \(y_1\), \(\mu y_2\) non identiquement nulles et telles que \(y_2=y_1^2\). Résoudre alors \((E)\).
[concours/ex3343]
[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).
[planches/ex1636]
Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).
Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).
Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?
Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?
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