Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4930] ens lyon MP 2012 On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^1([-1,1],\mathbf{R})\) vérifiant \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=1\). On considère \(J : f \in E \mapsto \displaystyle\int_{-1}^1 \left(x\, f'(x)\right)^2\,dx\). La fonction \(J\) possède-t-elle un minimum ?

[planches/ex7169] centrale MP 2021 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\alpha>0\).

Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \(u''-\displaystyle{f'\over f}u'-{u\over f^2}=0\). On pose \(h=\displaystyle{u'\over f}\).

1. Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

2. Montrer que \(u^2\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\).

3. Montrer que \(\ell=0\).

[oraux/ex5092] polytechnique MP 2012 Soient \(E={\cal C}^2([0,1],\mathbf{R})\) et \(Q:u\in E\mapsto\displaystyle\int_0^1 e^x\left( u(x)^2+u'(x)^2\right)\,dx\).

1. Soient \(u,v\in E\) et \(\Phi_{u,v}:t\in\mathbf{R}\mapsto Q(u+tv)\). À quelle condition \(\Phi_{u,v}\) admet-elle un minimum en \(t_0\) ?

2. On fixe \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}\) et on note \(L=\left\{ u\in E,\; u(0)=a\mbox{ et }u(1)=b\right\}\). La restriction de \(Q\) à \(L\) présente-t-elle un minimum ? Si oui, est-il unique ?

[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).

2. Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).

   1. Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

   2. Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex1005] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), \(g\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+f(x)=-xg(x)f'(x)\). Montrer que \(f\) est bornée.