Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3146] polytechnique, ens cachan PSI 2011

1. Donner un exemple de fonction continue, non identiquement nulle au voisinage de 0 et telle que 0 n’est pas un zéro isolé.

2. Soient \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable et \(a\in\mathbf{R}\). On suppose que \(f(a)=0\) et que \(a\) n’est pas un zéro isolé de \(f\). Montrer que \(f'(a)=0\).

3. Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(f:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable telle que \(f(a)=f(b)=0\) et \(\forall x\in\left]a,b\right[\), \(f(x)\geqslant 0\). Montrer : \(f'(a)f'(b)\leqslant 0\).

   Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\).

4. Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(f\) sont isolés.

5. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions de \((E)\) et \(t_0\in I\). On suppose qu’il existe \(c\in\mathbf{R}\) tel que \(f(t_0)=cg(t_0)\) et \(f'(t_0)=cg'(t_0)\). Montrer : \(f=cg\).

6. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que le wronskien \(W\) de \(f\) et de \(g\) ne s’annule pas. Exprimer \(W(t)\) en fonction de \(W(t_0)\). Montrer que, entre deux zéros consécutifs de \(f\), la fonction \(g\) s’annule.

[concours/ex4170] mines M 1990 Soit \(f\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de : \[y''+e^{-t^2}y=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t.\] On suppose \(f\) bornée et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2\) convergente. Montrer que \(f'\) est bornée, puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{t\rightarrow+\infty}f(t)=0\).

[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).

1. Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).

[planches/ex0929] polytechnique MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) intégrable. Étudier les solutions bornées de \(y''-(1+q)y=0\).

[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.

1. Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).

2. Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).

3. Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).