Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5477] polytechnique MP 2007 Soient \(f\in\mathscr{C}^1(\left]0,+\infty\right[,\mathbf{R})\) et \(g\) une solution de \((E)\) : \(y''+fy=0\), non identiquement nulle.

1. Montrer que les zéros de \(g\) sont isolés. Dans la suite, \(x_1\) et \(x_2\) sont deux zéros consécutifs de \(g\) vérifiant \(x_1<x_2\).

2. Montrer, si \(x\in[x_1,x_2]\) : \[\hskip-1cm(x_2-x)\int_{x_1}^x(t-x_1)f(t)g(t)\,dt+ (x-x_1)\int_x^{x_2}(x_2-t)f(t)g(t)\,dt =(x_2-x_1)g(x).\]

3. En déduire une minoration de \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}|f(t)|\,dt\).

[planches/ex1074] tpe PSI 2015 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\Phi:E\rightarrow E\) qui à \(f\) associe \(g\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(g(x)=f'(x)-xf(x)\). Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\), puis \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\mathbin{\circ}\Phi\).

[examen/ex0458] centrale MP 2023 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty([0,\pi],\mathbf{R})\) et \(F=\{f\in E,\ f(0)=f(\pi)=0\}\). Soient \(\varphi,q\in E\), la fonction \(q\) étant positive. On note \(\alpha\) une primitive de \(\varphi\). On pose \(D(y)=y''+\varphi y'-qy\) et \(L(y)=-e^\alpha D(y)\) pour tout \(y\in E\), et \(\langle y,z\rangle=\displaystyle\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,\mathrm{d}x\) pour tous \(y\), \(z\in F\).

1. Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.

2. Montrer que \(\langle\ ,\ \rangle\) est un produit scalaire sur \(F\).

3. Soit \(h\in E\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(f_0\in F\) telle que \(D(f_0)=h\).

[equadiff/ex0157] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. On en cherche une solution sous la forme d’un produit de deux fonctions \(u\) et \(v\), i. e. \(y=uv\).

1. Déduire de cette égalité que \(u\) vérifie une équation différentielle : \[a_2u''+b_2u'+c_2u=f(x),\] dont les coefficients dépendent de \(x\) et de la fonction \(v\).

2. On choisit alors \(v\) pour pour que cette équation ne contienne pas \(u'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).

3. Application : résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[xy''+2y'-xy=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x,\] en remarquant qu’on peut prendre \(v(x)=\displaystyle{1\over x}\).

[planches/ex8133] mines MP 2022 Soit \(f:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On se donne \(c\geqslant 0\), on pose \(F:x\longmapsto c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\) et on suppose que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant F(x)\).

1. Étudier les variations de \(x\longmapsto\displaystyle{F(x)\over x}\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en déduire que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de l’équation différentielle \(y''+xy=0\). En s’intéressant à \(g^2\), montrer que \(g\) est bornée.