Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5477] polytechnique MP 2007 Soient \(f\in\mathscr{C}^1(\left]0,+\infty\right[,\mathbf{R})\) et \(g\) une solution de \((E)\) : \(y''+fy=0\), non identiquement nulle.

1. Montrer que les zéros de \(g\) sont isolés. Dans la suite, \(x_1\) et \(x_2\) sont deux zéros consécutifs de \(g\) vérifiant \(x_1<x_2\).

2. Montrer, si \(x\in[x_1,x_2]\) : \[\hskip-1cm(x_2-x)\int_{x_1}^x(t-x_1)f(t)g(t)\,dt+ (x-x_1)\int_x^{x_2}(x_2-t)f(t)g(t)\,dt =(x_2-x_1)g(x).\]

3. En déduire une minoration de \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}|f(t)|\,dt\).

[oraux/ex2970] mines PSI 2008 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(p\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) et \(k\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que la seule solution de l’équation différentielle \(y''+p(x)y'-ky=0\) satisfaisant la condition \(y(a)=y(b)=0\) est la solution nulle.

[planches/ex1018] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+a(x)y=0\).

1. Montrer que les wronskiens relatifs à \((E)\) vérifient une équation différentielle du premier ordre.

2. Soit \(T>0\). Montrer que les trois énoncés suivants sont équivalents :

   1. \((E)\) possède un wronskien \(T\)-périodique ;

   2. tous les wronskiens de \((E)\) sont périodiques ;

   3. la fonction \(a\) est \(T\)-périodique de valeur moyenne nulle.

[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.

[examen/ex0458] centrale MP 2023 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty([0,\pi],\mathbf{R})\) et \(F=\{f\in E,\ f(0)=f(\pi)=0\}\). Soient \(\varphi,q\in E\), la fonction \(q\) étant positive. On note \(\alpha\) une primitive de \(\varphi\). On pose \(D(y)=y''+\varphi y'-qy\) et \(L(y)=-e^\alpha D(y)\) pour tout \(y\in E\), et \(\langle y,z\rangle=\displaystyle\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,\mathrm{d}x\) pour tous \(y\), \(z\in F\).

1. Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.

2. Montrer que \(\langle\ ,\ \rangle\) est un produit scalaire sur \(F\).

3. Soit \(h\in E\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(f_0\in F\) telle que \(D(f_0)=h\).