Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2901] centrale PSI 2005 Soit \(E\) l’ensemble des \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)-(1+x^4)f(x)=0\).

1. Montrer que \(E\) contient une unique fonction \(f_0\) telle que \(f_0(0)=1\) et \(f_0'(0)=1\).

2. Montrer que \(f_0^2\) est convexe.

3. Montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(f_0(t)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/f_0^2\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(f_1:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f_0(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f_0^2(t)}\).

5. Montrer que \(f_1\in E\).

6. Montrer que \(f_1'\geqslant 0\) et que \(f_1\) est bornée.

7. Quels sont les éléments bornés de \(E\) ?

[planches/ex8628] centrale PSI 2022 (avec Python)

Soit \(q:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}\) continue. On s’intéresse à l’équation différentielle \((E_{a,b})\) : \(y''+(1+q)y=0\), \(y(0)=a\), et \(y'(0)=b\).

1. Tracer avec Python les solutions pour \((a,b)\in\{(1,0),(0,1)\}\) et pour les fonctions \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over\sqrt{1+t}}\), \(q:t\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over t}\right)\), \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over1+t^2}\). et \(q:t\longmapsto\displaystyle{-t^2\over2(1+t^2)}\). On tracera ces solutions sur l’intervalle \([0,50]\).

   Pour quelles fonctions \(q\) la solution semble-t-elle bornée ?

2. On suppose dans cette question que \(q\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(z:x\longmapsto\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)f(t)\,dt\) avec \(f\) continue, intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(z''+z\).

3. Soit \(y\) une solution de \((E_{a,b})\).

   Montrer que, pour \(t\in\mathbf{R}_+\), \(0\leqslant|y(t)|\leqslant|a|+|b|+\displaystyle\int_0^x|q(t)|\,|y(t)|\,dt\).

   En déduire que \(y\) est bornée.

4. La condition \(q\) intégrable est-elle suffisante/nécessaire pour que les solutions de \((E_{a,b})\) soient bornées ?

[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.

[oraux/ex3042] mines PC 2009 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\), \(k\in\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) : \(y''+\varphi(x)y'-ky=0\). On suppose que \(f\) est une solution de \((E)\) telle que \(f(a)=f(b)=0\). Montrer que \(f\) est identiquement nulle.

[planches/ex1074] tpe PSI 2015 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\Phi:E\rightarrow E\) qui à \(f\) associe \(g\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(g(x)=f'(x)-xf(x)\). Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\), puis \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\mathbin{\circ}\Phi\).