Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6387] ens lyon PC 2021 Pour \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), on pose \(W=\left|\matrix{\varphi_1&\varphi'_1\cr\varphi_2&\varphi'_2}\right|\).

1. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soient \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) deux solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Que dire de la fonction \(W\) ?

2. Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soit \(\varphi_1\) une solution de \(y''+q_1y=0\) et \(\varphi_2\) une solution de \(y''+q_2y=0\). Calculer \(W'\).

3. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(q\) est minorée par un réel strictement positif \(\alpha\). Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) s’annule une infinité de fois.

[planches/ex1115] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \(y''=x^4y\) (?).

1. Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. On admet que \(1/f^2\) est définie et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(g:x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f(t)^2}\) est aussi solution de l’équation étudiée.

3. Montrer le résultat admis dans la question précédente.

[planches/ex6508] polytechnique MP 2021 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose que \(q'\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\) et que \(q(t)\rightarrow0\) quand \(t\rightarrow+\infty\). Montrer que les solutions de \(y''+(q+1)y=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[planches/ex1114] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \[(1)\quad y''=(1+x^4)y.\]

1. Montrer que \((1)\) possède une unique solution \(y\) telle que \(y(0)=y'(0)=1\).

2. Soit \(f\) une solution de \((1)\). On suppose \(\displaystyle{1\over f^2}\) intégrable. Montrer que \(x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{1\over f^2(t)}\,dt\) est également solution de \((1)\) (?).

3. Montrer que si \(f\) solution de \((E)\) vérifie \(f(0)=f'(0)=1\) alors \(\displaystyle{1\over f^2}\) est intégrable.

[oraux/ex3153] mines MP 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''=(x^4+1)y\).

1. Montrer que cette équation possède une unique solution \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. Montrer que \(g=f^2\) est convexe.

3. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/g\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

5. Montrer que \(x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over g(t)}\) est également solution de \((E)\).