Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3103] mines PC 2010 Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+^*)\) strictement croissante. Montrer que toute solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+\varphi y=0\) est bornée sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex0963] centrale PSI 2013 Soient \(I\subset\mathbf{R}\) un intervalle, \(A\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+Ay'+By=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(\forall x\in I\), \(y_2(x)=xy_1(x)\).

[planches/ex7278] centrale PC 2021

1. Soit \(g\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(g''\leqslant 0\).

   Montrer que, pour tout \((t_0,t)\in\mathbf{R}^2\), \(g(t)\leqslant g(t_0)+(t-t_0)g'(t_0)\).

2. Soit \(a>0\). Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(q(t)\geqslant a\). Soit \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est pas majoré.

[concours/ex2908] centrale M 1994 Soient \(I\) un intervalle réel, \(p\) et \(q\) des applications continues définies sur \(I\) et à valeurs réelles. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\). Trouver une condition portant sur les fonctions \(p\) et \(q\) pour que \((E)\) admette sur \(I\) deux solutions \(u\) et \(v\) non nulles telles que pour tout \(x\), on ait : \(v(x)=xu(x)\).

Application : résoudre, sur \(\left]0,+\infty\right[\), puis sur \(\left[0,+\infty\right[\), l’équation : \[x^2y''+x(1-2x)y'+\left(x^2-x-{1\over4}\right)y=x^{5/2}.\]

[concours/ex0100] polytechnique MP 1996 Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) et \(A\) (resp. \(B\)) une application \(C^1\) (resp. \(C^0\)) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+A(x)y'+B(x)y=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(y_2=xy_1\).

Résoudre \(y''+2xy'+(1+x^2)y=xe^{-x^2/2}\).