Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3693] mines PSI 2018

1. Soit \(y:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue et \(c\in\mathbf{R}\) tels que \(\forall x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c+\displaystyle\int_a^x\varphi(t)y(t)\,dt\).

   Montrer que, pour tout \(x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_a^x\varphi(t)\,dt\right)\).

2. Soit \(q\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^1\) de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), croissante, et \(f\) une solution de l’équation \(f''+qf=0\). Montrer que \(f\) est bornée.

[concours/ex4064] polytechnique P 1990 Conditions nécessaires et suffisantes sur les fonctions \(p\) et \(q\), supposées continues sur \(\mathbf{R}\), pour que l’équation différentielle \[x''+p(t)x'+q(t)x=0\] admette deux solutions, \(x_1\) et \(x_2\), telles que :

1. \(\forall t\in\mathbf{R}^*\quad x_1(t)\neq0\) ;

2. \(\forall t\in\mathbf{R}\quad x_2(t)=tx_1(t)\).

[oraux/ex5532] mines PC 2012 Soient \(\varphi\in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R}^{+*})\) croissante et \((E)\) l’équation \((E)\) : \(x''(t)+\varphi(t)\, x(t)=0\). Montrer que \(x\) est bornée.

Indication : On multipliera par \(x'/\varphi\).

[oraux/ex2949] ens paris MP 2008 Soit \(g\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+^*,\mathbf{R}_+^*)\). On suppose qu’il existe \(m>0\) tel que \(g\geqslant m\). Soit \(f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de : \(y''+gy=0\).

1. Montrer que \(f\) admet une infinité de zéros.

2. On suppose \(g\) croissante. Montrer que \(f\) est majorée au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex6387] ens lyon PC 2021 Pour \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), on pose \(W=\left|\matrix{\varphi_1&\varphi'_1\cr\varphi_2&\varphi'_2}\right|\).

1. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soient \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) deux solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Que dire de la fonction \(W\) ?

2. Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soit \(\varphi_1\) une solution de \(y''+q_1y=0\) et \(\varphi_2\) une solution de \(y''+q_2y=0\). Calculer \(W'\).

3. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(q\) est minorée par un réel strictement positif \(\alpha\). Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) s’annule une infinité de fois.