Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1022] centrale MP 2014 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) non vide et non réduit à un point, \(p\), \(q:I\rightarrow\mathbf{R}\) continues et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). On suppose \(q\neq0\). On étudie l’existence de deux solutions, notées \(y_1\) et \(y_2\) de \((E)\), inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire que \(y_1y_2=1\).

1. Si \(p\) et \(q\) sont constantes, donner une condition suffisante d’existence.

2. On considère \((E_1)\) : \(y''+\displaystyle{y'\over x}-{y\over4x^2}=0\) sur \(\left]1,+\infty\right[\) et \((E_2)\) : \(y''-\displaystyle{y'\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}-y{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)^2\over4}=0\) sur \(\mathbf{R}_+^*\). Trouver pour \((E_1)\) puis pour \((E_2)\) un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

   On revient à l’équation générale \((E)\) et on suppose qu’elle admet un couple de solutions inverses l’une de l’autre \((y_1,y_2)\). On note \(W\) le wronskien de \((y_1,y_2)\).

3. Montrer que \(y_1\) et \(y_2\) sont linéairement indépendantes. Qu’en déduit-on pour \(W\) ?

4. Exprimer \(W\) en fonction de \(y_1\).

5. Montrer que \(W'+pW=0\).

6. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((p,q)\) pour que \((E)\) possède un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

[concours/ex4064] polytechnique P 1990 Conditions nécessaires et suffisantes sur les fonctions \(p\) et \(q\), supposées continues sur \(\mathbf{R}\), pour que l’équation différentielle \[x''+p(t)x'+q(t)x=0\] admette deux solutions, \(x_1\) et \(x_2\), telles que :

1. \(\forall t\in\mathbf{R}^*\quad x_1(t)\neq0\) ;

2. \(\forall t\in\mathbf{R}\quad x_2(t)=tx_1(t)\).

[planches/ex6387] ens lyon PC 2021 Pour \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), on pose \(W=\left|\matrix{\varphi_1&\varphi'_1\cr\varphi_2&\varphi'_2}\right|\).

1. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soient \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) deux solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Que dire de la fonction \(W\) ?

2. Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soit \(\varphi_1\) une solution de \(y''+q_1y=0\) et \(\varphi_2\) une solution de \(y''+q_2y=0\). Calculer \(W'\).

3. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(q\) est minorée par un réel strictement positif \(\alpha\). Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) s’annule une infinité de fois.

[planches/ex0963] centrale PSI 2013 Soient \(I\subset\mathbf{R}\) un intervalle, \(A\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+Ay'+By=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(\forall x\in I\), \(y_2(x)=xy_1(x)\).

[oraux/ex2949] ens paris MP 2008 Soit \(g\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+^*,\mathbf{R}_+^*)\). On suppose qu’il existe \(m>0\) tel que \(g\geqslant m\). Soit \(f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de : \(y''+gy=0\).

1. Montrer que \(f\) admet une infinité de zéros.

2. On suppose \(g\) croissante. Montrer que \(f\) est majorée au voisinage de \(+\infty\).