Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1026] centrale PSI 2014 Soient \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(a<b\) et \(f\), \(g\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose \(f>0\). On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-fy=g\).

1. Montrer que l’équation homogène associée à \((E)\) possède deux solutions \(u\) et \(v\) caractérisées par : \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).

2. Montrer que \((E)\) possède au plus une solution s’annulant en \(a\) et en \(b\).

   Indication : Considérer \(y_1\) et \(y_2\) deux telles solutions et \(h=y_2-y_1\). Remarquer que \(h^2\) est convexe.

3. Montrer que \((E)\) possède une solution s’annulant en \(a\) et \(b\) et en donner une expression en fonction de \(u\), \(v\), \(f\) et \(g\).

[planches/ex4986] mines MP 2019 Soient \(u\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y''+(1+u)y=0\). Soit, pour \(x\in\mathbf{R}_+\), \(g(x)=f(x)+\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)u(t)f(t)\,dt\).

1. Former une équation différentielle linéaire vérifiée par \(g\).

2. Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|u(t)f(t)|\,dt\).

3. Montrer que \(f\) est bornée.

[oraux/ex2850] ens cachan MP 2005 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, positive, de période \(\pi\) et non nulle. Soit \(\mathscr{E}\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).

1. Soit \(\varphi\in\mathscr{E}\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(\varphi\) n’est ni majoré ni minoré.

2. On suppose \(\varphi\) non nulle ; Soit \(\psi\in\mathscr{E}\) non proportionnelle à \(\varphi\). Montrer que les zéros de \(\psi\) séparent ceux de \(\varphi\).

[oraux/ex3041] mines PC 2009 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(u\) et \(v\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\).

1. Montrer que les zéros de \(v\) sont isolés.

2. Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(v\), \(u\) s’annule exactement une fois.

[oraux/ex3119] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle ouvert non vide de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_+)\) et \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Soient \((E_1)\) : \(y''-a(x)y=0\) et \((E_2)\) : \(y''-a(x)y=b(x)\).

1. Soit \(y\) une solution de \((E_1)\). On suppose qu’il existe \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\) tel que \(y(x_1)=y(x_2)=0\). Calculer \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}y(x)^2a(x)\,dx\). Que dire de \(y\) ?

2. Soient \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\).

   1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E_2)\) telle que \(y_1(x_1)=0\) et \(y_1'(x_1)=1\).

   2. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_2\) de \((E_2)\) telle que \(y_2(x_1)=y_2(x_2)=0\).