Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1093] polytechnique MP 2016 Soit \(q\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Montrer que l’équation différentielle \(y''+qy=0\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex0995] polytechnique MP 2014 Soient \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) intégrable et \((E)\) : \(y''+q(x)y=0\).

1. Montrer que si \(y\) est une solution bornée, alors \(y'\) tend vers 0 à l’infini.

2. Montrer qu’il existe des solutions non bornées.

[planches/ex1595] ens PSI 2017 Soient \(q\) une fonction continue, intégrable sur \(\left[0,+\infty\right[\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(x)y=0\).

1. Si \(f\) est une solution bornée de \((E)\), montrer que sa dérivée \(f'\) tend vers 0 en \(+\infty\).

2. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions bornées. Montrer que \(f'g-fg'=0\).

3. En déduire qu’il existe des solutions non bornées de \((E)\).

[concours/ex0283] mines MP 1996 On considère une application continue \(p:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}p(t)\,dt\) converge et l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-p(x)y=0\).

1. Montrer que si \(y\) est une solution bornée de \(E\), alors \(y'\) admet une limite finie, que l’on déterminera, en \(+\infty\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex6826] mines MP 2021 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(S\) l’ensemble des solutions de \(y''+fy=0\). On suppose \(f\) intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\in S\) et \(w=y_1y_2'-y_1'y_2\). Que peut-on dire de \(w\) ?

2. Montrer que \(S\) contient des fonctions non bornées.