[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).
[planches/ex7887]
Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).
[planches/ex1080] ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(f\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(x''+f(t)x=0\) sur \([0,1]\).
[planches/ex1080]
Décrire la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\), rappeler le théorème de Cauchy linéaire, mettre le système différentiel associé à \((E)\) sous forme matricielle.
Montrer que si \(x\) est solution de \((E)\) et vérifie \(x(0)=x(1)=0\) alors \(x=0\).
Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que pour toute solution de \((E)\), on ait : \[\varepsilon^2\int_0^1x(t)^2\,dt\leqslant\varepsilon\int_0^1x'(t)^2\,dt\leqslant\int_0^1(1-t)x(t)^2\,dt.\]
[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).
[planches/ex1079]
Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.
Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).
[oraux/ex3147] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(y\) une solution de \(y''(x)=xy(x)\) sur \([0,1]\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer : \(\forall x\in[0,1]\), \(|y'(x)|+|y(x)|\leqslant e^x\).
[oraux/ex3147]
[oraux/ex4961] ens PC 2012 Soient \(a,b,c,d\) dans \({\cal C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\). On suppose : \(a>0\), \(c<0\) et \(d>0\). Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(ay''+by'+cy=d\), \(y(0)=0\).
[oraux/ex4961]
Si \(y'(0)=0\), montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}^{+*}\), \(y(t)>0\).
On suppose qu’il existe \(t_1>0\) tel que \(y(t_1)>0\). Montrer : \(\forall t\geqslant t_1\), \(y(t)\geqslant 0\).
[oraux/ex5092] polytechnique MP 2012 Soient \(E={\cal C}^2([0,1],\mathbf{R})\) et \(Q:u\in E\mapsto\displaystyle\int_0^1 e^x\left( u(x)^2+u'(x)^2\right)\,dx\).
[oraux/ex5092]
Soient \(u,v\in E\) et \(\Phi_{u,v}:t\in\mathbf{R}\mapsto Q(u+tv)\). À quelle condition \(\Phi_{u,v}\) admet-elle un minimum en \(t_0\) ?
On fixe \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}\) et on note \(L=\left\{ u\in E,\; u(0)=a\mbox{ et }u(1)=b\right\}\). La restriction de \(Q\) à \(L\) présente-t-elle un minimum ? Si oui, est-il unique ?
[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).
[concours/ex3550]
[oraux/ex3174] centrale MP 2011 (avec Maple)
[oraux/ex3174]
Maple
Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose qu’il existe \(L>0\) tel que : \(\forall(x,y,t)\in\mathbf{R}^3\), \(|f(t,x)-f(t,y)|\leqslant L|x-y|\). On fixe \(a\), \(b\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(x\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on note \(T(x)\) la fonction définie par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad T(x)(t)=a+bt+\int_0^t(t-s)f(s,x(s))\,ds.\]
Vérifier que \(T(x)\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}\).
On suppose \(f(t,x)=(2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t-2)x\). On prend pour \(y\) la fonction nulle. Tracer, pour \(8\leqslant n\leqslant 12\), le graphe de \(T^n(y)\) sur \([-6,6]\).
Montrer que pour toute \(x\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) la suite \((T^n(x))\) converge uniformément sur tout segment de \(\mathbf{R}\) vers une fonction \(y\) telle que \(y(0)=a\), \(y'(0)=b\), \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y''(t)=f(t,y(t))\).
[oraux/ex2894] centrale MP 2005 Soit \(q\) une fonction continue et positive définie sur \(\mathbf{R}\). On note \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-qy=0\).
[oraux/ex2894]
Montrer qu’une solution non nulle de \((E)\) ne s’annule qu’au plus une fois.
Désormais \(q(t)=e^t\). Montrer que les solutions de \((E)\) sont développables en série entière.
Donner l’allure des solutions \(f\) et \(g\) de \(y''-e^ty=0\) vérifiant les conditions initiales \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).
[planches/ex2136] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) continues et 1-périodiques, et soit \(y\) solution de \(y''+ay'+by=0\) telle que \(y(0)=y(1)=0\). Montrer que \(y\) s’annule en tout \(k\in\mathbf{Z}\).
[planches/ex2136]
[concours/ex6304] ens cachan MP 2006
[concours/ex6304]
Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.
[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.
[oraux/ex2986]
Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).
Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).
Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).
[planches/ex1597] ens PSI 2017 Si \(x\) est un nombre réel, on note \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) la partie fractionnaire de \(x\). Soient \(\theta\in\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}\) et \(f:\mathbf{N}\rightarrow\left[0,1\right[\), \(n\mapsto\{n\theta\}\).
[planches/ex1597]
Montrer que \(f\) est injective.
Montrer que : \(\forall\varepsilon>0\), \(\exists(m,n)\in\mathbf{N}^2\), \(m\neq n\) et \(0<f(m)-f(n)<\varepsilon\).
En déduire que \(\{x\in\mathbf{R},\ \exists(a,b)\in\mathbf{Z}^2,\ x=a+b\theta\}\) est dense dans \(\mathbf{R}\).
On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+2y'+2y=f\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) est non constante. On suppose que \((E)\) possède deux solutions périodiques \(y_1\) et \(y_2\) de périodes respectives \(T_1\) et \(T_2\). On se propose de montrer que \(y_1=y_2\).
Montrer que \(T_1/T_2\) est un nombre rationnel.
Montrer que la fonction \(y_2-y_1\) est bornée.
Montrer que \(y_2=y_1\).
[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).
[oraux/ex3136]
Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).
[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]
[planches/ex1100]
[planches/ex6154] ens lyon MP 2021 Soit \(k\in\mathbf{R}\). Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) vérifiant \(y''=(x^3+kx)y\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est majoré et non minoré.
[planches/ex6154]
[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).
[oraux/ex3140]
[oraux/ex2981] centrale MP 2008 (avec Maple)
[oraux/ex2981]
Résoudre \(y''+\displaystyle{y\over x^2}=0\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) à l’aide de Maple. Existe-t-il des solutions bornées ?
Soit \((E)\) : \(y''+\displaystyle{y\over x^2+4x+3}=0\). On se donne une solution \(f\) bornée de \((E)\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). Montrer que \(f'\) admet une limite nulle en \(+\infty\). Existe-t-il des solutions non bornées sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?
[planches/ex1056] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) et \(x\) une solution strictement positive de \(x''+q(t)x=0\). On pose \(f=x'/x\).
[planches/ex1056]
Donner une équation différentielle satisfaite par \(f\).
Montrer que \(f\) est décroissante positive.
Que peut-on dire de l’intégrabilité de \(q\) ?
[planches/ex1596] ens PSI 2017 Soit \(f\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R})\) et \(c\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R}_+)\). On considère le problème aux limites : \[(1)\qquad-u''(x)+c(x)u(x)=f(x),\quad u(0)=u(1).\]
[planches/ex1596]
Pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère le système : \[(2)\qquad-u_\lambda(x)+c(x)u_\lambda(x)=f(x),\quad u_\lambda(0)=0,\quad u_\lambda(0)=\lambda.\] Montrer que \((2)\) possède une unique solution \(u_\lambda\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).
En déduire qu’il existe une unique solution de \((1)\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).
Indication : On pourra montrer que \(\varphi:\lambda\mapsto u_\lambda(1)\) est affine.
Montrer que si \(f\geqslant 0\), alors \(u\geqslant 0\).
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