Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2942] centrale PC 2006 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et, pour \(f\in E\), \(\mu(f)\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\mu(f)(x)=f'(x)-xf(x).\]

1. Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(E\), déterminer son noyau.

2. L’application \(\mu\) est-elle surjective ?

3. Si \(g\in E\), déterminer \(\mu^{-1}(g)\).

4. Déterminer \(\mu\mathbin{\circ}\mu\).

5. Résoudre : \(y''-2xy'+(x^2-1)y=0\).

6. Si \(n\in\mathbf{N}^*\), résoudre \(\mu^{(n)}(f)=0\).

[planches/ex0932] polytechnique MP 2013 Soient \(a\in\left]0,\pi\right[\) et \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)|\leqslant a\).

[equadiff/ex0881] Soit \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\) une équation différentielle linéaire du deuxième ordre homogène à coefficients non forcément constants, de classe \(C^1\) sur l’intervalle \(I\).

1. Écrire l’équation \((E')\) transformé de \((E)\) en posant \(y=uz\).

2. Déterminer une équation différentielle simple que doit vérifier la fonction \(u\) de sorte de \((E')\) ne contienne plus de terme en \(z'\), et résoudre cette équation en \(u\).

3. Montrer que \((E')\) peut se mettre sous la forme : \(z''=cz\), et exprimer la fonction \(c\) en fonction de \(a\) et \(b\).

4. Déterminer \(u\) et \(c\) quand \(a\) et \(b\) sont constants.

[planches/ex1009] mines MP 2014 Soit \((E)\) l’équation différentielle \[y''+e^xy=0.\]

1. Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Les solutions de \((E)\) sont-elles toutes bornées sur \(\mathbf{R}\) ?

[planches/ex1104] mines MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(q(x)>0\) et \(q'(x)>0\). Montrer que les solutions de \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

Indication : Multiplier par \(y'/q\).

[planches/ex8133] mines MP 2022 Soit \(f:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On se donne \(c\geqslant 0\), on pose \(F:x\longmapsto c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\) et on suppose que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant F(x)\).

1. Étudier les variations de \(x\longmapsto\displaystyle{F(x)\over x}\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en déduire que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de l’équation différentielle \(y''+xy=0\). En s’intéressant à \(g^2\), montrer que \(g\) est bornée.

[planches/ex8462] mines PC 2022

1. Soit \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\). On suppose qu’il existe \(c\geqslant 0\) tel que, pour tout \(x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) solution de \(y''+xy=0\). Montrer que \(y\) est bornée.

[concours/ex3679] mines M 1992 Montrer que toutes les solutions de \(y''+e^xy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex3133] ens lyon MP 2011 Soit \(\varphi\) une solution maximale non identiquement nulle de \(y''+e^xy=0\).

1. Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’on peut ranger l’ensemble des zéros de \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}_+\) en une suite strictement croissante \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

3. Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow0\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

4. Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex3082] polytechnique MP 2010 Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non identiquement nulle de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+e^ty=0\). Montrer que \(f\) admet une infinité dénombrable de zéros.

[planches/ex3377] polytechnique, espci PC 2018 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(q>0\), \(q'>0\). Montrer que les solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[equadiff/ex0157] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. On en cherche une solution sous la forme d’un produit de deux fonctions \(u\) et \(v\), i. e. \(y=uv\).

1. Déduire de cette égalité que \(u\) vérifie une équation différentielle : \[a_2u''+b_2u'+c_2u=f(x),\] dont les coefficients dépendent de \(x\) et de la fonction \(v\).

2. On choisit alors \(v\) pour pour que cette équation ne contienne pas \(u'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).

3. Application : résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[xy''+2y'-xy=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x,\] en remarquant qu’on peut prendre \(v(x)=\displaystyle{1\over x}\).

[oraux/ex3142] polytechnique MP 2011 Soit \(a\) dans \(\left]0,\pi\right[\).

1. Déterminer \(y\) de classe \(C^2\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \(y(0)=a\), \(y'(0)=0\), \(y''=-y\).

2. Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et bornée par \(a\) sur \(\mathbf{R}\).

3. Trouver \(C>0\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)-y(t)|\leqslant Ct^2\).

[concours/ex3119] polytechnique P 1993

Soit \(g\), \(k:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) avec \(g\) continue et \(k\) de classe \(C^1\) ne s’annulant pas sur \([a,b]\) et \[(E)\quad(ky')'+gy=0.\]

1. Montrer que l’ensemble des zéros d’une solution non nulle de \((E)\) est fini.

2. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que si \(x_1\) et \(x_2>x_1\) sont deux zéros de \(y_1\), alors \(y_2\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

3. Soit \(g_1\), \(g_2:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) continues telles que \(g_1<g_2\), \[(E_j)\quad(ky')'+g_jy=0\quad(j=1,2)\] et \(u\) une solution non nulle de \(E_1\) s’annulant en \(x_1\) et \(x_2>x_1\). Montrer que toute solution de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

[oraux/ex3170] centrale MP 2011 (avec Maple)

Soit \((E_\lambda)\) l’équation \(-y''+x^2y=\lambda y\).

1. Tracer les solutions pour \(\lambda\in\{1,2\}\) pour chacune des conditions initiales suivantes : \(\{y(0)=0,\ y'(0)=1\}\) et \(\{y(0)=1,\ y'(0)=0\}\).

2. On étude \((E_1)\). Chercher les valeurs de \(\sigma\) telles que \(t\mapsto e^{at^2}\) soit solution. En déduire toutes les solutions de \((E_1)\) à l’aide de \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{t^2}\,dt\). Chercher avec Maple un équivalent de \(\varphi\) en \(+\infty\). Quelles sont les solutions bornées de \((E_1)\) ?

3. Soit \(y\) une solution de \((E_\lambda)\). Déterminer une équation vérifiée par \(u:x\mapsto y(x)e^{x^2/2}\). Montrer que ces fonctions \(u\) sont développables en série entière, et qu’il en est de même de toutes les solutions de \((E_\lambda)\).

[planches/ex9979] mines MP 2023

1. Soient \(A\in\mathbf{R}^+\), \(f\), \(g:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}^+\) continues. On suppose que : \[\forall x\geqslant 0,\quad f(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t.\] Montrer que \(\forall x\geqslant 0\), \(f(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_0^xg(t)\,\mathrm{d}t\right)\).

   Soit \((*)\) l’équation différentielle \(x''(t)+a(t)x(t)=b(t)\) avec \(a\) et \(b\) continues sur \(\mathbf{R}^+\), \(b\) et \(t\mapsto t\,a(t)\) intégrables sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(x\) solution de \((*)\).

2. Montrer que : \[\forall t\geqslant 1,\quad x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)\,\mathrm{d}u+\int_1^t(t-u)\,b(u)\,\mathrm{d}u.\]

3. On pose, pour \(t\geqslant 1\), \(y(t)=\displaystyle\frac{|x(t)|}{t}\). Montrer l’existence de \(K\) tel que : \[\forall t\geqslant 1,\quad y(t)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^tu\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^{+\infty}u\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right).\]

[oraux/ex2974] mines PSI 2008 Soient \(p\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) : \(y''+py=0\). Soit \(f\) une solution de \((E)\).

1. On suppose : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x)>0\). Montrer que \(f\) est non bornée.

2. On suppose qu’il existe un unique \(a\in\mathbf{R}\) tel que \(f(a)=0\). Montrer que \(f\) est non bornée.

3. On suppose que \(f\) est bornée. Montrer que \(f\) est identiquement nulle.

[oraux/ex4931] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2012 Soit \(a>4\). On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^0([0,1],\mathbf{R})\) de classe \({\cal C}^1\) sur \(]0,1]\), telles que \(f'^2\) soit intégrable sur \(]0,1]\) et vérifiant en outre \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) ; pour \(f\in E\), on pose \(\phi(f)=\displaystyle\int_0^1 \left(af'^2(t)-\frac{f(t)^2}{t^2}\right)\,dt\).

1. On suppose que \(\phi\) réalise son minimum sur \(E\) en \(f\). Donner une équation différentielle qu’il est plausible que \(f\) vérifie, et en déduire une valeur plausible de \(f\).

2. Pour \(h\in E\), on pose \(g(t)=\displaystyle\frac{h(t)}{f(t)}\). Exprimer \(\phi(h)\) en fonction de \(g\), et en déduire que \(\phi\) réalise son minimum sur \(E\). Préciser en quels points.

[oraux/ex3002] ens paris MP 2009 Soit \(E\) l’ensemble des fonctions complexes de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}^2\), \(2\pi\)-périodiques par rapport à la première variable. On se donne une fonction complexe \(f_0\) de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}\) et \(2\pi\)-périodique.

1. Trouver \(f\in E\) telle que : \(\displaystyle{\partial f\over\partial t}(x,t)=-i\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}(x,t)\) et \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x,0)=f_0(x)\).

2. Expliciter une constante \(C\) telle que : \[\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}|f(x,t)|^4\,dx\,dt\leqslant C\left(\int_0^{2\pi}|f_0(x)|^2\,dx\right)^{\!2}.\]

[oraux/ex4930] ens lyon MP 2012 On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^1([-1,1],\mathbf{R})\) vérifiant \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=1\). On considère \(J : f \in E \mapsto \displaystyle\int_{-1}^1 \left(x\, f'(x)\right)^2\,dx\). La fonction \(J\) possède-t-elle un minimum ?