Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]

[planches/ex0996] polytechnique MP 2014 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue telle que \(t\mapsto tq(t)\) soit intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \(y:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction deux fois dérivable telle que \(y''+qy=0\). Montrer successivement :

1. que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) est bornée au voisinage de \(+\infty\) ;

2. que \(y'\) a une limite finie en \(+\infty\) ;

3. que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) a une limite finie en \(+\infty\).

[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).

1. Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).

2. Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).

3. Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?

4. Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?

[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).

1. Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.

2. Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).

[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).

2. Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).

   1. Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

   2. Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).