Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6826] mines MP 2021 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(S\) l’ensemble des solutions de \(y''+fy=0\). On suppose \(f\) intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\in S\) et \(w=y_1y_2'-y_1'y_2\). Que peut-on dire de \(w\) ?

2. Montrer que \(S\) contient des fonctions non bornées.

[planches/ex1093] polytechnique MP 2016 Soit \(q\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Montrer que l’équation différentielle \(y''+qy=0\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex4987] mines MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Montrer que, si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), alors \(y'(t)\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{t\rightarrow+\infty}}0\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[equadiff/ex0092] Soit \((E)\) l’équation \(x''+q(t)x=0\) où \(q\) est une fonction continue sommable sur \(\mathbf{R}_+\).

1. Montrer que le wronskien de deux solutions est constant.

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex1125] tpe PSI 2016 Soit l’équation différentielle \((E)\) : \[y''+f(x)y=0,\] où \(f\) est continue et intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Montrer que si \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions de \((E)\) alors \(y_1'y_2-y_2'y_1\) est constante sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que si \(y\) est une solution de \((E)\) bornée sur \(\mathbf{R}\) alors \(y'(x)\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(+\infty\), puis montrer que cette limite est forcément nulle.

3. Montrer que \((E)\) admet nécessairement une solution non bornée.

[concours/ex0283] mines MP 1996 On considère une application continue \(p:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}p(t)\,dt\) converge et l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-p(x)y=0\).

1. Montrer que si \(y\) est une solution bornée de \(E\), alors \(y'\) admet une limite finie, que l’on déterminera, en \(+\infty\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[oraux/ex2800] centrale 2003 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une application continue et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), que dire de \(y'\) en \(+\infty\) ?

2. Montrer qu’il existe des solutions de \((E)\) non bornées.

[concours/ex4169] mines M 1990 Soit \(f\in\mathscr{C}(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|f\right|\) converge. L’équation \(y''+fy=0\) a-t-elle toutes ses solutions bornées ?

[equadiff/ex0880] Équation d’Euler

On considère : \[(E)\qquad x^2y''+a\,xy'+by=c(x),\] avec \(a\), \(b\in\mathbf{R}\). On pose \(x=\varepsilon e^t\) avec \(\varepsilon=\pm1\) et \(y(x)=z(t)\).

1. Montrer que l’équation différentielle en \(z\), transformée de \((E)\) par ce changement de variable, est à coefficients constants.

2. Résoudre par exemple \(x^2y''-5xy'+9y=x+1\).

[equadiff/ex0088] Montrer comment on peut résoudre une équation différentielle (d’Euler) de la forme \[(E)\quad x^2y''+axy'+by=0\] à l’aide du changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits|x|\).

[oraux/ex3071] tpe PC 2009 Résoudre : \(x^2y''+axy'+by=0\).

[oraux/ex2913] ccp PC 2005 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \((1)\) l’équation différentielle : \(ax^2y''(x)+bxy'(x)+cy(x)=0\), dont on considérera les solutions sur \(\left]0,+\infty\right[\).

1. Justifier le changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\) et résoudre \((1)\).

2. Résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) suivant les valeurs de \(a\) : \(x^2y''(x)+xy'(x)+y(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\).

[oraux/ex3090] mines MP 2010 Soient \(q\) une application continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une solution non identiquement nulle de \(y''-qy=0\). Montrer que \(f\) s’annule au plus une fois sur \(\mathbf{R}\).

[oraux/ex3122] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(q\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Si \(f\) est solution de \(E\), montrer que \(f^2\) est convexe.

2. Montrer que toute solution non identiquement nulle de \((E)\) s’annule au plus une fois.

[oraux/ex2819] ens cachan 2004 Considérons l’équation différentielle : \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\) où \(a\) et \(b\) sont des fonctions réelles continues. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions linéairement indépendantes.

1. Montrer que les zéros de \(y_1\) sont isolés et qu’entre deux zéros de \(y_1\) il y a un unique zéro de \(y_2\).

2. Soit l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) où \(q\) est continue négative. Soit \(y\) une solution non constante ; montrer que \(y\) a au plus un zéro.

[planches/ex0935] polytechnique, ens cachan PSI 2013 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''(x)+q(x)y(x)=0\) où \(q\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle et négative.

1. 1. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution positive de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est convexe.

   2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y^2\) est convexe.

2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution bornée de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est identiquement nulle.

3. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\).

   1. Montrer que pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|y(x)|\geqslant 1\), puis \(y(x)\geqslant 1\).

   2. Montrer que \(y\) est convexe.

[concours/ex1714] polytechnique MP 1999 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, positive et \(y\) solution de \((E)\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).

1. Montrer que \(y^2\) est convexe. Peut-elle être bornée ?

2. On suppose que \(y\) n’est pas nulle. Montrer que \(y\) et \(y'\) s’annulent au plus une fois.

3. Montrer que \(\displaystyle{y^2(x)\over x}\) a une limite finie en \(+\infty\).

[planches/ex1096] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+^*)\). On cherche s’il existe des solutions non nulles bornées de l’équation \((E)\) : \(y''-q(x)y=0\).

1. Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer qu’on peut supposer l’existence d’un réel \(a\) tel que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\).

2. Montrer que, pour tout \(x\geqslant a\), \(f'(x)\geqslant f'(a)\).

3. Conclure.

[oraux/ex5641] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}^-)\) non identiquement nulle, \((a,b)\in (\mathbf{R}^{+*})^2\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).

1. Justifier l’existence d’une unique solution \(y_0\) de \((E)\) vérifiant \(y_0(0)=a\) et \(y'_0(0)=0\).

2. Résoudre l’équation différentielle \(Y''-b^2\,Y=0\) avec \(Y(0)=a\) et \(Y'(0)=0\).

3. Montrer que \(y_0^2\) est convexe.

4. La fonction \(y_0\) admet-elle deux zéros distincts ? Est-elle bornée ?

5. Montrer que \(y_0\) est minorée par \(a\) et convexe.

6. On suppose \(q\leqslant-b^2\). Montrer que \(y_0\geqslant Y\).

[concours/ex1319] mines MP 1998 Soit \(I\) un intervalle non vide de \(\mathbf{R}\), et \(p\in\mathscr{C}(I,\mathbf{C})\). Soit \(u\) une solution de \(y''+py=0\).

1. On suppose que, pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits p(t)\leqslant 0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).

2. On suppose que pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits p(t)\neq0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).