[concours/ex5750] mines MP 2007 Soit \((E)\) : \(x''+q(t)x=0\) où \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) est continue et intégrable. Montrer que \((E)\) possède des solutions non bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[concours/ex5750]
[oraux/ex2926] mines PSI 2006 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) intégrable sur \(\mathbf{R}_+\) et \((E)\) : \(y''+qy=0\). Montrer que si \(f\) est une solution bornée de \((E)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0\). En déduire que \((E)\) admet des solutions non bornées.
[oraux/ex2926]
[equadiff/ex0092] Soit \((E)\) l’équation \(x''+q(t)x=0\) où \(q\) est une fonction continue sommable sur \(\mathbf{R}_+\).
[equadiff/ex0092]
Montrer que le wronskien de deux solutions est constant.
Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.
[concours/ex4169] mines M 1990 Soit \(f\in\mathscr{C}(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|f\right|\) converge. L’équation \(y''+fy=0\) a-t-elle toutes ses solutions bornées ?
[concours/ex4169]
[planches/ex1595] ens PSI 2017 Soient \(q\) une fonction continue, intégrable sur \(\left[0,+\infty\right[\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(x)y=0\).
[planches/ex1595]
Si \(f\) est une solution bornée de \((E)\), montrer que sa dérivée \(f'\) tend vers 0 en \(+\infty\).
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions bornées. Montrer que \(f'g-fg'=0\).
En déduire qu’il existe des solutions non bornées de \((E)\).
[oraux/ex2800] centrale 2003 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une application continue et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).
[oraux/ex2800]
Si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), que dire de \(y'\) en \(+\infty\) ?
Montrer qu’il existe des solutions de \((E)\) non bornées.
[planches/ex6826] mines MP 2021 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(S\) l’ensemble des solutions de \(y''+fy=0\). On suppose \(f\) intégrable sur \(\mathbf{R}\).
[planches/ex6826]
Soient \(y_1\), \(y_2\in S\) et \(w=y_1y_2'-y_1'y_2\). Que peut-on dire de \(w\) ?
Montrer que \(S\) contient des fonctions non bornées.
[concours/ex0283] mines MP 1996 On considère une application continue \(p:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}p(t)\,dt\) converge et l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-p(x)y=0\).
[concours/ex0283]
Montrer que si \(y\) est une solution bornée de \(E\), alors \(y'\) admet une limite finie, que l’on déterminera, en \(+\infty\).
[oraux/ex3071] tpe PC 2009 Résoudre : \(x^2y''+axy'+by=0\).
[oraux/ex3071]
[examen/ex1790] mines MP 2024 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(ax^2y''+bxy'+cy=0\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
[examen/ex1790]
Résoudre \((E)\) en utilisant le changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\).
Résoudre \(x^2y''+xy'+y=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\).
[equadiff/ex0088] Montrer comment on peut résoudre une équation différentielle (d’Euler) de la forme \[(E)\quad x^2y''+axy'+by=0\] à l’aide du changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits|x|\).
[equadiff/ex0088]
[equadiff/ex0880] Équation d’Euler
[equadiff/ex0880]
On considère : \[(E)\qquad x^2y''+a\,xy'+by=c(x),\] avec \(a\), \(b\in\mathbf{R}\). On pose \(x=\varepsilon e^t\) avec \(\varepsilon=\pm1\) et \(y(x)=z(t)\).
Montrer que l’équation différentielle en \(z\), transformée de \((E)\) par ce changement de variable, est à coefficients constants.
Résoudre par exemple \(x^2y''-5xy'+9y=x+1\).
[planches/ex4991] mines MP 2019 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{C}\), \(E\) l’espace des solutions de \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\). Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{C}^*\) et \(y\in E\setminus\{0\}\) tels que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y(t+1)=\lambda y(t)\).
[planches/ex4991]
[oraux/ex3003] ens lyon MP 2009 Soient \(T>0\), \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique, \(S\) l’espace des solutions réelles de \(y''+qy=0\) sur \(\mathbf{R}\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) l’élément de \(S\) tel que \(y_1(0)=0\), \(y_1'(0)=1\) (resp. \(y_2(0)=1\), \(y_2'(0)=0\)).
[oraux/ex3003]
Montrer que si \(f\) est dans \(S\), il en est de même de \(f_T:x\mapsto f(x+T)\). On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(S\) que à \(f\in S\) associe \(f_T\) et \(A\) sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\).
Calculer le déterminant de \(A\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|<2\). Montrer que tout élément de \(S\) est borné sur \(\mathbf{R}\).
On suppose \(q\geqslant 0\) et \(q\) non identiquement nulle. Montrer que tout élément de \(S\) s’annule au moins deux fois sur \(\mathbf{R}\).
On suppose que \(q\) est positive et que \(\displaystyle{1\over T}\int_0^Tq<4\). Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).
Indication : on admettra que si \(f\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f(a)=f(b)=0\) alors \(\displaystyle\int_a^b\left|{f''\over f}\right|>\displaystyle{4\over b-a}\).
[planches/ex9271] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(p:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, non identiquement nulle, \(\pi\)-périodique et telle que \(\displaystyle\int_0^{\pi}p(t)\mathrm{d} t \geqslant 0\) et \(\displaystyle\int_0^\pi |p(t)| \mathrm{d} t\leqslant\frac{\pi}{4}\).
[planches/ex9271]
Montrer que l’équation \(u''+pu=0\) n’admet pas de solution \(u\) non nulle sur \(\mathbf{R}\) telle qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) tel que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t+\pi)=\lambda\, u(t).\)
[examen/ex1420] polytechnique PSI 2024 On considère l’équation différentielle \((E)\): \(y''(t)+\varphi(t)y(t)=0\), avec \(\varphi\) continue \(2\pi\)-périodique et on note \(Sol\) l’ensemble des solutions de \((E)\) de classe \(\mathscr{C}^2\) à valeurs complexes.
[examen/ex1420]
Montrer qu’il existe \(y_1\in Sol\) telle que \(y_1(0)=1,\) \(y'_1(0)=0\), et \(y_2\in Sol\) telle que \(y_2(0)=0,y'_2(0)=1\).
Montrer que toute solution de \((E)\) est combinaison linéaire de \(y_1\) et \(y_2\).
Pour \(y\in Sol\), on note \(\Psi(y)\) la fonction \(t\mapsto y(t+2\pi)\). Montrer que \(\Psi(y)\in Sol\).
Déterminer la nature de l’application \(\Psi\).
Montrer que, si \(z\in Sol\) avec \(z\neq 0\) est telle que \(\forall t\in\mathbb{R}\), \(z(t+2\pi)=\lambda z(t)\) avec \(\lambda\in\mathbb{C}\), alors \(\lambda\) est racine du polynôme \(X^2-(y_1(2\pi)+y'_2(2\pi))X-y'_1(2\pi)y_2(2\pi)+y_1(2\pi)y'_2(2\pi)\). Étudier la réciproque.
Montrer que \(\lambda\) ne peut être nul puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits (\varphi)=1\).
[planches/ex1083] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et de période \(\pi\). On note \(E\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).
[planches/ex1083]
On note \(f:\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\rightarrow\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\) l’application qui à \(\varphi\) associe \(x\mapsto\varphi(x+\pi)\).
Montrer que \(E\) est un espace vectoriel réel sont on précisera la dimension.
Montrer que \(f\) induit un endomorphisme de \(E\) noté \(\tilde f\).
Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\tilde f)=1\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|<2\). Montrer que \(E\) est constitué de fonctions bornées.
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|>2\). Montrer que la fonction nulle est la seule fonction bornée de \(E\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|=2\). Montrer que \(E\) contient une fonction bornée non nulle.
Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), nulle en \(a\) et \(b\) et strictement positive sur \(\left]a,b\right[\). On admet que, pour une telle fonction, \(\displaystyle\int_a^b{|\varphi''(t)|\over\varphi(t)}\,dt>{4\over b-a}\).
Montrer que si \(q\) est positive, \(q\) n’est pas la fonction nulle et \(\displaystyle\int_0^\pi q(t)\,dt\leqslant{4\over\pi}\), alors \(E\) ne contient que des fonctions bornées.
[planches/ex9044] ccinp PC 2022 Soit \(q\) une fonction continue et \(T\)-périodique de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On considère l’équation différentielle \((E_q)\) : \(y''+qy=0\).
[planches/ex9044]
On suppose que \(q\) est la fonction constante égale à 1. Montrer que les solutions de \((E_1)\) sont toutes bornées.
On rappelle qu’une base de l’espace \(S_q\) des solutions de \((E_q)\) est \((y_1,y_2)\) où \(y_1\) et \(y_2\) sont les solutions de \((E_q)\) telles que \((y_1(0)=1,\ y_1'(0)=0)\) et \((y_2(0)=0,\ y_2'(0)=1)\). Soit \(F\) l’application qui à \(y\in S_q\) associe la fonction \(t\longmapsto y(t+T)\).
Montrer que \(F\) est un endomorphisme de \(S_q\) et que sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\) est \(A=\pmatrix{y_1(T)&y_2(T)\cr y_1'(T)&y_2'(T)}\).
Montrer que la fonction \(W:t\longmapsto y_1(t)y_2'(t)-y_1'(t)y_2(t)\) est constante.
Montrer que \(\chi_A(X)=X^2-\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)X+1\).
On suppose que \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)|<2\). Montrer que \(\chi_A\) admet deux racines complexes conjuguées \(\lambda\) et \(\overline\lambda\). Montrer qu’il existe deux solutions \(z_1\) et \(z_2\) de \((E_q)\), à valeurs dans \(\mathbf{C}\), telles que \(F(z_1)=\lambda z_1\) et \(F(z_2)=\overline\lambda z_2\).
[planches/ex7679] ens PSI 2022 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(2\pi\)-périodique. L’objectif de l’exercice est d’étudier les solutions bornées de l’équation \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(y_1\) la solution de \((E)\) vérifiant les conditions \(y_1(0)=1\) et \(y_1'(0)=0\) et \(y_2\) la solution telle que \(y_2(0)=0\) et \(y_2'(0)=1\).
[planches/ex7679]
Montrer que la fonction \(y_1\) est paire et que la fonction \(y_2\) est impaire.
Soient \(W=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(y_1,y_2)\) et \(A:y\in W\longmapsto(x\longmapsto y(\pi+x))\). Déterminer la matrice de \(A\) dans la base \((y_1,y_2)\) puis calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\).
Avec la première question, calculer \(A^{-1}\).
À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, montrer que \(y_1(\pi)=y_2'(\pi)\).
Soit \(T\) la trace de \(A\). Montrer que, si \(|T|<2\), les solutions de \((E)\) sont bornées puis que, si \(|T|=2\), il existe une solution de \((E)\) non nulle et bornée.
[oraux/ex5642] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(\pi\)-périodique, \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).
[oraux/ex5642]
Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E)\) telle que \(y_1(0)=1\) et \(y'_1(0)=0\) et une unique solution \(y_2\) de \((E)\) telle que \(y_2(0)=0\) et \(y'_2(0)=1\).
Montrer que \((y_1,y_2)\) est une base de l’espace vectoriel \(S\) des solutions de \((E)\).
Montrer que \(y_1\) est paire et \(y_2\) impaire.
Montrer que la fonction \(y_1\,y'_2-y'_1\,y_2\) est constante.
Pour \(y\in S\), on note \(f(y)\,:\;t\mapsto y(t+\pi)\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(S\).
Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \((y_1,y_2)\).
Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \(X^2-2a\,X+1\), pour un certain réel \(a\).
On suppose \(a=1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(\pi\)-périodique non triviale.
On suppose \(a=-1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(2\pi\)-périodique non triviale.
On suppose \(|a|>1\). Montrer que \(f\) admet deux vecteurs propres linéairement indépendants. Montrer que ce sont des fonctions non bornées. En déduire les solutions bornées de \((E)\).
La plupart des textes affichés provoquent l'apparition de bulles d'aide au passage de la souris