[concours/ex5750] mines MP 2007 Soit \((E)\) : \(x''+q(t)x=0\) où \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) est continue et intégrable. Montrer que \((E)\) possède des solutions non bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[concours/ex5750]
[planches/ex1595] ens PSI 2017 Soient \(q\) une fonction continue, intégrable sur \(\left[0,+\infty\right[\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(x)y=0\).
[planches/ex1595]
Si \(f\) est une solution bornée de \((E)\), montrer que sa dérivée \(f'\) tend vers 0 en \(+\infty\).
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions bornées. Montrer que \(f'g-fg'=0\).
En déduire qu’il existe des solutions non bornées de \((E)\).
[planches/ex0995] polytechnique MP 2014 Soient \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) intégrable et \((E)\) : \(y''+q(x)y=0\).
[planches/ex0995]
Montrer que si \(y\) est une solution bornée, alors \(y'\) tend vers 0 à l’infini.
Montrer qu’il existe des solutions non bornées.
[concours/ex0283] mines MP 1996 On considère une application continue \(p:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}p(t)\,dt\) converge et l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-p(x)y=0\).
[concours/ex0283]
Montrer que si \(y\) est une solution bornée de \(E\), alors \(y'\) admet une limite finie, que l’on déterminera, en \(+\infty\).
Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.
[equadiff/ex0092] Soit \((E)\) l’équation \(x''+q(t)x=0\) où \(q\) est une fonction continue sommable sur \(\mathbf{R}_+\).
[equadiff/ex0092]
Montrer que le wronskien de deux solutions est constant.
[concours/ex4169] mines M 1990 Soit \(f\in\mathscr{C}(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|f\right|\) converge. L’équation \(y''+fy=0\) a-t-elle toutes ses solutions bornées ?
[concours/ex4169]
[planches/ex6826] mines MP 2021 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(S\) l’ensemble des solutions de \(y''+fy=0\). On suppose \(f\) intégrable sur \(\mathbf{R}\).
[planches/ex6826]
Soient \(y_1\), \(y_2\in S\) et \(w=y_1y_2'-y_1'y_2\). Que peut-on dire de \(w\) ?
Montrer que \(S\) contient des fonctions non bornées.
[oraux/ex2800] centrale 2003 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une application continue et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).
[oraux/ex2800]
Si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), que dire de \(y'\) en \(+\infty\) ?
Montrer qu’il existe des solutions de \((E)\) non bornées.
[equadiff/ex0880] Équation d’Euler
[equadiff/ex0880]
On considère : \[(E)\qquad x^2y''+a\,xy'+by=c(x),\] avec \(a\), \(b\in\mathbf{R}\). On pose \(x=\varepsilon e^t\) avec \(\varepsilon=\pm1\) et \(y(x)=z(t)\).
Montrer que l’équation différentielle en \(z\), transformée de \((E)\) par ce changement de variable, est à coefficients constants.
Résoudre par exemple \(x^2y''-5xy'+9y=x+1\).
[equadiff/ex0088] Montrer comment on peut résoudre une équation différentielle (d’Euler) de la forme \[(E)\quad x^2y''+axy'+by=0\] à l’aide du changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits|x|\).
[equadiff/ex0088]
[oraux/ex3071] tpe PC 2009 Résoudre : \(x^2y''+axy'+by=0\).
[oraux/ex3071]
[oraux/ex2913] ccp PC 2005 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \((1)\) l’équation différentielle : \(ax^2y''(x)+bxy'(x)+cy(x)=0\), dont on considérera les solutions sur \(\left]0,+\infty\right[\).
[oraux/ex2913]
Justifier le changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\) et résoudre \((1)\).
Résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) suivant les valeurs de \(a\) : \(x^2y''(x)+xy'(x)+y(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\).
[oraux/ex3090] mines MP 2010 Soient \(q\) une application continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une solution non identiquement nulle de \(y''-qy=0\). Montrer que \(f\) s’annule au plus une fois sur \(\mathbf{R}\).
[oraux/ex3090]
[oraux/ex5641] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}^-)\) non identiquement nulle, \((a,b)\in (\mathbf{R}^{+*})^2\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).
[oraux/ex5641]
Justifier l’existence d’une unique solution \(y_0\) de \((E)\) vérifiant \(y_0(0)=a\) et \(y'_0(0)=0\).
Résoudre l’équation différentielle \(Y''-b^2\,Y=0\) avec \(Y(0)=a\) et \(Y'(0)=0\).
Montrer que \(y_0^2\) est convexe.
La fonction \(y_0\) admet-elle deux zéros distincts ? Est-elle bornée ?
Montrer que \(y_0\) est minorée par \(a\) et convexe.
On suppose \(q\leqslant-b^2\). Montrer que \(y_0\geqslant Y\).
[planches/ex0935] polytechnique, ens cachan PSI 2013 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''(x)+q(x)y(x)=0\) où \(q\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle et négative.
[planches/ex0935]
Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution positive de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est convexe.
Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y^2\) est convexe.
Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution bornée de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est identiquement nulle.
Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\).
Montrer que pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|y(x)|\geqslant 1\), puis \(y(x)\geqslant 1\).
Montrer que \(y\) est convexe.
[oraux/ex2955] polytechnique MP 2008 Soit \(q\) une fonction réelle continue sur \(\mathbf{R}\) et ne prenant que des valeurs strictement négatives. On considère l’équation différentielle \(x''+q(t)x=0\).
[oraux/ex2955]
Montrer que la seule solution bornée sur \(\mathbf{R}\) est la fonction nulle.
Montrer qu’une solution non nulle s’annule au plus une fois sur \(\mathbf{R}\).
[concours/ex1319] mines MP 1998 Soit \(I\) un intervalle non vide de \(\mathbf{R}\), et \(p\in\mathscr{C}(I,\mathbf{C})\). Soit \(u\) une solution de \(y''+py=0\).
[concours/ex1319]
On suppose que, pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits p(t)\leqslant 0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).
On suppose que pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits p(t)\neq0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).
[planches/ex0966] centrale PSI 2013 (avec Maple)
[planches/ex0966]
Maple
Soient \(g:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) continue et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-2y'+y=g\).
Quelle est la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) ?
Déterminer cet ensemble avec \(g:x\mapsto1/x^2\). Les solutions obtenues sont-elles prolongeables par continuité à droite en 0 ?
Déterminer l’ensemble des solutions de \((E)\) pour \(g:x\mapsto-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\). Les solutions obtenues sont-elles prolongeables par continuité à droite en 0 ? Les solutions obtenues sont-elles prolongeables de classe \(\mathscr{C}^1\) en 0 ?
Soit \(S\) l’ensemble des solutions de classe \(\mathscr{C}^0\) de \((E)\) et \(S_1\) le sous-ensemble de \(S\) formé des solutions de classe \(\mathscr{C}^1\). Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(g\) pour que \(S=S_1\).
Dans cette question, \(g=g_\alpha:x\mapsto x^\alpha\). Déterminer les \(\alpha\) pour lesquels \(S_1=S\).
Montrer qu’il existe une unique solution de \((E)\) telle que \(y(0)=y'(0)=0\).
[oraux/ex3169] centrale MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) et \(E\) l’ensemble des solutions de l’équation \(y''-qy=0\).
[oraux/ex3169]
Justifier l’existence de la solution \(y_s\) telle que \(y_s(0)=1\) et \(y'_s(0)=s\).
Montrer que si \(y\in E\) alors \(y^2\) est convexe.
Montrer que \(y_1\geqslant 1\) sur \(\mathbf{R}_+\) puis que \(\displaystyle{1\over y_1^2}\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).
Montrer que \(Y:x\mapsto y_1(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over y_1(t)^2}\) est une solution bornée de \(E\).
Indication : Montrer que \(\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over y_1(t)^2}\leqslant\displaystyle\int_x^{+\infty}{y_1'(t)\over(y_1-t)^2}\,dt\).
Montrer qu’il existe un unique \(s_0\in\mathbf{R}\) tel que \(y_{s_0}\) ne s’annule pas et soit bornée sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(y_{s_0}\) et sa dérivée convergent en \(+\infty\).
Que dire de la limite de \(y_s\) si \(s>s_0\) ? si \(s<s_0\) ?
[concours/ex1714] polytechnique MP 1999 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, positive et \(y\) solution de \((E)\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).
[concours/ex1714]
Montrer que \(y^2\) est convexe. Peut-elle être bornée ?
On suppose que \(y\) n’est pas nulle. Montrer que \(y\) et \(y'\) s’annulent au plus une fois.
Montrer que \(\displaystyle{y^2(x)\over x}\) a une limite finie en \(+\infty\).
[planches/ex1096] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+^*)\). On cherche s’il existe des solutions non nulles bornées de l’équation \((E)\) : \(y''-q(x)y=0\).
[planches/ex1096]
Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer qu’on peut supposer l’existence d’un réel \(a\) tel que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\).
Montrer que, pour tout \(x\geqslant a\), \(f'(x)\geqslant f'(a)\).
Conclure.
[oraux/ex2819] ens cachan 2004 Considérons l’équation différentielle : \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\) où \(a\) et \(b\) sont des fonctions réelles continues. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions linéairement indépendantes.
[oraux/ex2819]
Montrer que les zéros de \(y_1\) sont isolés et qu’entre deux zéros de \(y_1\) il y a un unique zéro de \(y_2\).
Soit l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) où \(q\) est continue négative. Soit \(y\) une solution non constante ; montrer que \(y\) a au plus un zéro.
[oraux/ex3122] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(q\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).
[oraux/ex3122]
Si \(f\) est solution de \(E\), montrer que \(f^2\) est convexe.
Montrer que toute solution non identiquement nulle de \((E)\) s’annule au plus une fois.
[planches/ex7679] ens PSI 2022 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(2\pi\)-périodique. L’objectif de l’exercice est d’étudier les solutions bornées de l’équation \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(y_1\) la solution de \((E)\) vérifiant les conditions \(y_1(0)=1\) et \(y_1'(0)=0\) et \(y_2\) la solution telle que \(y_2(0)=0\) et \(y_2'(0)=1\).
[planches/ex7679]
Montrer que la fonction \(y_1\) est paire et que la fonction \(y_2\) est impaire.
Soient \(W=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(y_1,y_2)\) et \(A:y\in W\longmapsto(x\longmapsto y(\pi+x))\). Déterminer la matrice de \(A\) dans la base \((y_1,y_2)\) puis calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\).
Avec la première question, calculer \(A^{-1}\).
À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, montrer que \(y_1(\pi)=y_2'(\pi)\).
Soit \(T\) la trace de \(A\). Montrer que, si \(|T|<2\), les solutions de \((E)\) sont bornées puis que, si \(|T|=2\), il existe une solution de \((E)\) non nulle et bornée.
[planches/ex9271] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(p:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, non identiquement nulle, \(\pi\)-périodique et telle que \(\displaystyle\int_0^{\pi}p(t)\mathrm{d} t \geqslant 0\) et \(\displaystyle\int_0^\pi |p(t)| \mathrm{d} t\leqslant\frac{\pi}{4}\).
[planches/ex9271]
Montrer que l’équation \(u''+pu=0\) n’admet pas de solution \(u\) non nulle sur \(\mathbf{R}\) telle qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) tel que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t+\pi)=\lambda\, u(t).\)
[oraux/ex3097] mines PC 2010 Soient \(a\), \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((f,g)\) un système fondamental de solutions de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\). On suppose \(f\) paire et \(g\) impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) est paire.
[oraux/ex3097]
[oraux/ex3003] ens lyon MP 2009 Soient \(T>0\), \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique, \(S\) l’espace des solutions réelles de \(y''+qy=0\) sur \(\mathbf{R}\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) l’élément de \(S\) tel que \(y_1(0)=0\), \(y_1'(0)=1\) (resp. \(y_2(0)=1\), \(y_2'(0)=0\)).
[oraux/ex3003]
Montrer que si \(f\) est dans \(S\), il en est de même de \(f_T:x\mapsto f(x+T)\). On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(S\) que à \(f\in S\) associe \(f_T\) et \(A\) sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\).
Calculer le déterminant de \(A\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|<2\). Montrer que tout élément de \(S\) est borné sur \(\mathbf{R}\).
On suppose \(q\geqslant 0\) et \(q\) non identiquement nulle. Montrer que tout élément de \(S\) s’annule au moins deux fois sur \(\mathbf{R}\).
On suppose que \(q\) est positive et que \(\displaystyle{1\over T}\int_0^Tq<4\). Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).
Indication : on admettra que si \(f\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f(a)=f(b)=0\) alors \(\displaystyle\int_a^b\left|{f''\over f}\right|>\displaystyle{4\over b-a}\).
[planches/ex2138] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation différentielle \(y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0\) admet-elle une base formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire ?
[planches/ex2138]
[oraux/ex2972] mines PSI 2008 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''=ay'+by\). Montrer qu’il existe une couple \((f,g)\) de solutions indépendantes de \((E)\) avec \(f\) paire et \(g\) impaire si et seulement si \(a\) est impaire et \(b\) est paire.
[oraux/ex2972]
[planches/ex9044] ccinp PC 2022 Soit \(q\) une fonction continue et \(T\)-périodique de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On considère l’équation différentielle \((E_q)\) : \(y''+qy=0\).
[planches/ex9044]
On suppose que \(q\) est la fonction constante égale à 1. Montrer que les solutions de \((E_1)\) sont toutes bornées.
On rappelle qu’une base de l’espace \(S_q\) des solutions de \((E_q)\) est \((y_1,y_2)\) où \(y_1\) et \(y_2\) sont les solutions de \((E_q)\) telles que \((y_1(0)=1,\ y_1'(0)=0)\) et \((y_2(0)=0,\ y_2'(0)=1)\). Soit \(F\) l’application qui à \(y\in S_q\) associe la fonction \(t\longmapsto y(t+T)\).
Montrer que \(F\) est un endomorphisme de \(S_q\) et que sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\) est \(A=\pmatrix{y_1(T)&y_2(T)\cr y_1'(T)&y_2'(T)}\).
Montrer que la fonction \(W:t\longmapsto y_1(t)y_2'(t)-y_1'(t)y_2(t)\) est constante.
Montrer que \(\chi_A(X)=X^2-\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)X+1\).
On suppose que \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)|<2\). Montrer que \(\chi_A\) admet deux racines complexes conjuguées \(\lambda\) et \(\overline\lambda\). Montrer qu’il existe deux solutions \(z_1\) et \(z_2\) de \((E_q)\), à valeurs dans \(\mathbf{C}\), telles que \(F(z_1)=\lambda z_1\) et \(F(z_2)=\overline\lambda z_2\).
[planches/ex4991] mines MP 2019 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{C}\), \(E\) l’espace des solutions de \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\). Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{C}^*\) et \(y\in E\setminus\{0\}\) tels que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y(t+1)=\lambda y(t)\).
[planches/ex4991]
[oraux/ex5642] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(\pi\)-périodique, \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).
[oraux/ex5642]
Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E)\) telle que \(y_1(0)=1\) et \(y'_1(0)=0\) et une unique solution \(y_2\) de \((E)\) telle que \(y_2(0)=0\) et \(y'_2(0)=1\).
Montrer que \((y_1,y_2)\) est une base de l’espace vectoriel \(S\) des solutions de \((E)\).
Montrer que \(y_1\) est paire et \(y_2\) impaire.
Montrer que la fonction \(y_1\,y'_2-y'_1\,y_2\) est constante.
Pour \(y\in S\), on note \(f(y)\,:\;t\mapsto y(t+\pi)\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(S\).
Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \((y_1,y_2)\).
Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \(X^2-2a\,X+1\), pour un certain réel \(a\).
On suppose \(a=1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(\pi\)-périodique non triviale.
On suppose \(a=-1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(2\pi\)-périodique non triviale.
On suppose \(|a|>1\). Montrer que \(f\) admet deux vecteurs propres linéairement indépendants. Montrer que ce sont des fonctions non bornées. En déduire les solutions bornées de \((E)\).
[planches/ex1083] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et de période \(\pi\). On note \(E\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).
[planches/ex1083]
On note \(f:\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\rightarrow\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\) l’application qui à \(\varphi\) associe \(x\mapsto\varphi(x+\pi)\).
Montrer que \(E\) est un espace vectoriel réel sont on précisera la dimension.
Montrer que \(f\) induit un endomorphisme de \(E\) noté \(\tilde f\).
Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\tilde f)=1\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|<2\). Montrer que \(E\) est constitué de fonctions bornées.
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|>2\). Montrer que la fonction nulle est la seule fonction bornée de \(E\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|=2\). Montrer que \(E\) contient une fonction bornée non nulle.
Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), nulle en \(a\) et \(b\) et strictement positive sur \(\left]a,b\right[\). On admet que, pour une telle fonction, \(\displaystyle\int_a^b{|\varphi''(t)|\over\varphi(t)}\,dt>{4\over b-a}\).
Montrer que si \(q\) est positive, \(q\) n’est pas la fonction nulle et \(\displaystyle\int_0^\pi q(t)\,dt\leqslant{4\over\pi}\), alors \(E\) ne contient que des fonctions bornées.
[planches/ex0928] polytechnique MP 2013 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et intégrable. Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+(1+q(t))y=0\) est bornée sur \(\mathbf{R}\).
[planches/ex0928]
[planches/ex1134] tpe PC 2016 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) centré en zéro, \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(I,\mathbf{R})\) une fonction paire et \((E)\) l’équation différentielle \(y''(x)+\varphi(x)y(x)=0\). Soit \(y\) une solution de \((E)\). Montrer que \(y\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et que la fonction \(x\mapsto y(-x)\) est également solution de \((E)\).
[planches/ex1134]
[planches/ex1066] centrale PSI 2015 Soit \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}|a(x)|\,dx\) existe.
[planches/ex1066]
A-t-on nécessairement \(a(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?
Soit \(f\) vérifiant sur \(\mathbf{R}_+\) : \(y''(x)+(1+a(x))y(x)=0\). Soit \[g:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f(x)+\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)a(t)f(t)\,dt.\] Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}_+\), puis que \(g''+g=0\).
Montrer qu’il existe \(c\in\mathbf{R}_+\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|a(t)|\,|f(t)|\,dt\).
Montrer que toutes les solutions de \(y''+(1+a)y=0\) sont bornées.
[concours/ex3236] mines M 1993 Soit \(u\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) et \(f\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+\). On suppose qu’il existe une constante \(A\) telle que, pour tout \(x\) de \(\mathbf{R}_+\), \[u(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)u(t)\,dt.\] Montrer que \[u(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_0^xf(t)\,dt\right).\] Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+y(1+g(t))=0\), où \(g\) est une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\bigl|g(t)\bigr|\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(E\) est bornée.
[concours/ex3236]
[planches/ex1109] centrale MP 2016
[planches/ex1109]
Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_2\geqslant q_1\), \(u\) (resp. \(v\)) une solution non identiquement nulle de \(y_1''+q_1y=0\) (resp. \(y''+q_2y=0\)), \(a\) et \(b\) deux zéros consécutifs de \(u\). Montrer que soit \(v/u\) est constante sur \(\left]a,b\right[\), soit \(v\) s’annule sur \(\left]a,b\right[\).
Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_-\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?
Soient \(c\) et \(d\) deux éléments de \(\mathbf{R}_+^*\) tels que \(c<d\), \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \([c^2,d^2]\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?
[concours/ex2909] centrale M 1994 Soient \(p\) et \(q\) deux applications continues sur un intervalle \(I\), à valeurs réelles, et telles que \(q>p\). Soient \(x_1\) et \(x_2\) des applications non identiquement nulles sur \(I\) vérifiant respectivement \(x_1''+px_1=0\) et \(x_2''+qx_2=0\).
[concours/ex2909]
Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(x_1\), il existe un unique zéro de \(x_2\).
[concours/ex3081] polytechnique M 1993 Soit \(J\) l’intervalle \(\left]a,+\infty\right[\), \(q\) une application continue sur \(J\) à valeurs réelles. On suppose que : \[\int_a^{+\infty}\left|q(t)\right|\,dt\] converge. Montrer qu’il existe une solution, à valeurs complexes, de l’équation différentielle : \[x''+(1+q)x=0,\] telle que \(x(t)-e^{it}\) tende vers \(0\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex3081]
[planches/ex6507] polytechnique MP 2021
[planches/ex6507]
Soient \(q_1\), \(q_2\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). Soient \(y_1\) (resp. \(y_2\)) une solution non nulle de \(y''+q_1y=0\) (resp. \(y''+q_2y=0\)). Soient \(u\), \(v\in\mathbf{R}_+\) tels que \(u<v\), \(y_1(u)=y_1(v)=0\). Montrer que \(y_2\) s’annule sur \([u,v]\).
Soit \(m\), \(M\in\mathbf{R}\) avec \(0<m\leqslant M\). Soit \(y\) une solution non nulle de \(y''+qy=0\) où \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) vérifie \(m\leqslant q\leqslant M\). Montrer que l’on peut ranger les zéros de \(y\) en une suite croissante \((t_n)_{n\geqslant 0}\) avec, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(t_{n+1}-t_n\in\left[-\displaystyle{\pi\over\sqrt M},{\pi\over\sqrt M}\right]\).
[concours/ex6515] polytechnique PC 2006 Soient \(f_1\) et \(f_2\) deux fonctions continues sur \(\mathbf{R}\) telles que \(f_2>f_1\), \((E_1)\) : \(y''+f_1y=0\), et \((E_2)\) : \(y''+f_2y=0\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) une solution non nulle de \((E_1)\) (resp. de \((E_2)\)), \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule sur \([\alpha,\beta]\).
[concours/ex6515]
[planches/ex3691] mines PSI 2018 On considère l’équation différentielle \((E):y''+a(t)y'+b(t)y=0\) où \(a\) et \(b\) désignent des fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex3691]
Calculer pour deux solutions \(f\), \(g\) de \((E)\) la quantité \(W=fg'-f'g\).
On suppose \(a\) impaire et \(b\) paire. Montrer que la fonction \(f\) solution de \((E)\) avec les conditions initiales \(f(0)=1\) et \(f'(0)=1\) est paire. Montrer de même que la fonction \(g\) solution de \((E)\) avec les conditions initiales \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\) est impaire. En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de \((E)\) constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
On suppose qu’il existe une base de l’espace des solutions de \((E)\) constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) paire.
[oraux/ex2840] centrale 2004 Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues sur \(I=[a,b]\), telles que \(\forall x\in I\), \(r(x)\geqslant q(x)\). On considère les équations différentielles : \[\begin{array}{lcc}y''+qy=0&&(E_1)\\z''+rz=0&&(E_2)\end{array}\]
[oraux/ex2840]
Soient \(x_0\) et \(x_1\) deux zéros consécutifs de \(y\), solution non nulle de \((E_1)\). Peut-on avoir \(y'(x_0)=0\) ou \(y'(x_1)=0\) ? Que dire des signes de \(y'(x_0)\) et \(y'(x_1)\) ?
Soit \(z\) une solution de \((E_2)\). On note \(w(x)=y(x)z'(x)-y'(x)z(x)\). Calculer \(w'(x)\) et exprimer \(w(x_1)-w(x_0)\).
Montrer que pour tout \(z\) solution de \((E_2)\), \(z\) s’annule entre \(x_0\) et \(x_1\).
Montrer que toute solution de \((E_1)\) est proportionnelle à \(y\) ou alors qu’elle s’annule entre \(x_0\) et \(x_1\).
Application : Soit \(y\) une solution de l’équation \(y''+e^{x^2}y=0\). La fonction \(y\) s’annule-t-elle ?
[oraux/ex3049] centrale MP 2009 Soit \(I\) un intervalle ouvert et non vide de \(\mathbf{R}\).
[oraux/ex3049]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+Ay'+By=0\).
Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\) et \(S\) un segment de \(I\). Montrer que \(f\) s’annule un nombre fini de fois sur \(S\).
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).
Soient \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in I\), \(p(x)<q(x)\). Soient \(f\), \(g\in\mathscr{C}^2(I,\mathbf{R})\) non identiquement nulles et telles que : \(f''+pf=0\) et \(g''+qg=0\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).
[oraux/ex3074] ens lyon MP 2010 Soient \(p\) et \(q\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(p\leqslant q\) et \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que \(f''+pf=0\).
[oraux/ex3074]
Montrer que les zéros de \(f\) sont isolés.
Soient \(x_1<x_2\) deux zéros consécutifs de \(f\) et \(g\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(g''+qg=0\). Montrer que \(g\) s’annule sur \([x_1,x_2]\).
[planches/ex2137] mines MP 2017 Soient \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(y\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\) telle que \(y''-qy=f\) et \((y(0),y(1))=(a,b)\).
[planches/ex2137]
[examen/ex0104] mines PSI 2023 Soient \(u\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) intégrable sur \(\mathbf{R}^+\) et \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) telle que \(f''+(1+u)f=0\). Soit \(g:x\in\mathbf{R}^+\mapsto f(x)+\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,f(t)\,u(t)\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0104]
Trouver une équation différentielle linéaire vérifiée par \(g\).
En déduire l’existence de \(c\) positif tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}^+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|f(t)\,u(t)|\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(f\) est bornée.
[oraux/ex3041] mines PC 2009 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(u\) et \(v\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\).
[oraux/ex3041]
Montrer que les zéros de \(v\) sont isolés.
Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(v\), \(u\) s’annule exactement une fois.
[oraux/ex2850] ens cachan MP 2005 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, positive, de période \(\pi\) et non nulle. Soit \(\mathscr{E}\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).
[oraux/ex2850]
Soit \(\varphi\in\mathscr{E}\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(\varphi\) n’est ni majoré ni minoré.
On suppose \(\varphi\) non nulle ; Soit \(\psi\in\mathscr{E}\) non proportionnelle à \(\varphi\). Montrer que les zéros de \(\psi\) séparent ceux de \(\varphi\).
[planches/ex1057] mines MP 2015 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f\leqslant 0\).
[planches/ex1057]
Soit \(z\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) telle que \(z''+fz=0\). Étudier la convexité de \(z^2\).
Montrer que le problème \(y''+fy=g\), \(y(a)=y(b)=0\) possède une et une seule solution.
[concours/ex2393] mines M 1995 Soient \(f\) et \(g\) continues de \([a,b]\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbf{R}_-\). Montrer que l’équation différentielle \(y''+f(x)y=g(x)\) possède une et une seule solution sur \([a,b]\) vérifiant \(y(a)=y(b)=0\).
[concours/ex2393]
[oraux/ex3119] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle ouvert non vide de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_+)\) et \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Soient \((E_1)\) : \(y''-a(x)y=0\) et \((E_2)\) : \(y''-a(x)y=b(x)\).
[oraux/ex3119]
Soit \(y\) une solution de \((E_1)\). On suppose qu’il existe \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\) tel que \(y(x_1)=y(x_2)=0\). Calculer \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}y(x)^2a(x)\,dx\). Que dire de \(y\) ?
Soient \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\).
Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E_2)\) telle que \(y_1(x_1)=0\) et \(y_1'(x_1)=1\).
Montrer qu’il existe une unique solution \(y_2\) de \((E_2)\) telle que \(y_2(x_1)=y_2(x_2)=0\).
[planches/ex1026] centrale PSI 2014 Soient \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(a<b\) et \(f\), \(g\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose \(f>0\). On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-fy=g\).
[planches/ex1026]
Montrer que l’équation homogène associée à \((E)\) possède deux solutions \(u\) et \(v\) caractérisées par : \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).
Montrer que \((E)\) possède au plus une solution s’annulant en \(a\) et en \(b\).
Indication : Considérer \(y_1\) et \(y_2\) deux telles solutions et \(h=y_2-y_1\). Remarquer que \(h^2\) est convexe.
Montrer que \((E)\) possède une solution s’annulant en \(a\) et \(b\) et en donner une expression en fonction de \(u\), \(v\), \(f\) et \(g\).
[concours/ex0810] mines MP 1997 Soit l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-f(x)y=g(x)\) avec \(f\), \(g\in\mathscr{C}([a,b],\mathbf{R})\) et \(f\geqslant 0\).
[concours/ex0810]
Montrer qu’il existe au plus une solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\).
Montrer qu’il existe deux solutions \(u\) et \(v\) de \(y''-f(x)y=0\) vérifiant les conditions \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).
Montrer qu’il existe une unique solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\) et l’exprimer à l’aide de \(u\) et \(v\).
[oraux/ex3009] ens PC 2009 Soient \((p,q)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) avec \(q\leqslant 0\) et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=a\) et \(f(1)=b\).
[oraux/ex3009]
[oraux/ex2884] centrale MP 2005
[oraux/ex2884]
Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation \(ay''+by'+cy=0\) admet-elle deux solutions \(y_1\) et \(y_1\) vérifiant \(y_1y_2=1\) ?
Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((x-1)y''(x)+xy'(x)-4y(x)=0\). Montrer que la condition précédente est réalisée. Étudier les solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\).
[planches/ex4013] centrale PC 2018 (avec Python)
[planches/ex4013]
Python
Soit \((E)\) : \(x''(t)+p(t)x'(t)+q(t)x(t)=0\).
On prend \(p(t)=\displaystyle{t\over1+t^2}\) et \(q(t)=\displaystyle{-1\over1+t^2}\). Ainsi \((E)\) devient \((1+t^2)x''+tx'-x=0\).
Représenter sur \([0,5]\) les solutions \((f,g)\) de \((E)\) vérifiant \((f(0),f'(0))=(1,0)\) et \((g(0),g'(0))=(0,1)\).
En déduire une solution évidente.
Montrer que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0.
On a \(g(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_nt^{2n}\). Trouver une relation de récurrence entre les \(c_n\) et en déduire \(g\).
Montrer que \((E)\) possède deux solutions inverses l’une de l’autre.
On suppose maintenant que \((E)\) admet deux solutions \(u\) et \(v\) avec \(v=1/u\). Exprimer \(p\) et \(q\) en fonction de \(u\). En déduire une relation entre \(p\) et \(q\).
[planches/ex1053] polytechnique, espci PC 2015 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour qu’il existe \(f\) et \(g\) solutions de \((E)\) telles que \(fg=1\).
[planches/ex1053]
[planches/ex1054] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) et \(\varphi\) une solution non nulle de l’équation différentielle \(\varphi''+q(x)\varphi=0\). Montrer que \(\varphi\) ne s’annule qu’un nombre fini de fois dans \([0,1]\).
[planches/ex1054]
[concours/ex2124] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 Soient \(f\) et \(g\) solutions réelles non nulles de \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\), \(a\) et \(b\) étant des fonctions réelles continues. Montrer qu’entre deux zéros de \(f\) il y a exactement un zéro de \(g\).
[concours/ex2124]
[planches/ex3378] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Montrer qu’il existe deux solutions \(f\), \(g\) de \(E\) vérifiant \(fg=1\) si et seulement si \(b\) est de classe \(\mathscr{C}^1\), \(b\leqslant 0\) et \(b'=-2ab\).
[planches/ex3378]
[planches/ex1038] ens MP 2014 Soient \(k\in\mathbf{N}\) et l’équation différentielle \((1-t^2)x''-2tx'+k(k+1)x=0\).
[planches/ex1038]
Montrer que cette équation admet une solution \(x_k\) non nulle, sur \(\mathbf{R}\).
Montrer que toute solution de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \([-1,1]\) est proportionnelle à \(x_k\).
[planches/ex4988] mines MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \(y\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^2\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle, telle que \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est fini.
[planches/ex4988]
[oraux/ex3149] polytechnique, espci PC 2011 Soient \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbf{R}\), \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\).
[oraux/ex3149]
Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \((E)\) sont isolés.
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions non nulles de \((E)\). On suppose que \(f\) et \(g\) ont un zéro commun. Montrer que \(f\) et \(g\) sont proportionnelles.
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\). Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(f\) il y a exactement un zéro de \(g\).
[planches/ex5561] ccinp MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \(y\) une fonction non identiquement nulle sur \(\mathbf{R}_+\) telle que \(y''+qy=0\). Montrer que les zéros de \(y\) sont isolés. En déduire que, si \(S\) est un segment de \(\mathbf{R}\), \(y\) n’a qu’un nombre fini de zéros sur \(S\).
[planches/ex5561]
[planches/ex1022] centrale MP 2014 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) non vide et non réduit à un point, \(p\), \(q:I\rightarrow\mathbf{R}\) continues et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). On suppose \(q\neq0\). On étudie l’existence de deux solutions, notées \(y_1\) et \(y_2\) de \((E)\), inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire que \(y_1y_2=1\).
[planches/ex1022]
Si \(p\) et \(q\) sont constantes, donner une condition suffisante d’existence.
On considère \((E_1)\) : \(y''+\displaystyle{y'\over x}-{y\over4x^2}=0\) sur \(\left]1,+\infty\right[\) et \((E_2)\) : \(y''-\displaystyle{y'\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}-y{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)^2\over4}=0\) sur \(\mathbf{R}_+^*\). Trouver pour \((E_1)\) puis pour \((E_2)\) un couple de solutions inverses l’une de l’autre.
On revient à l’équation générale \((E)\) et on suppose qu’elle admet un couple de solutions inverses l’une de l’autre \((y_1,y_2)\). On note \(W\) le wronskien de \((y_1,y_2)\).
Montrer que \(y_1\) et \(y_2\) sont linéairement indépendantes. Qu’en déduit-on pour \(W\) ?
Exprimer \(W\) en fonction de \(y_1\).
Montrer que \(W'+pW=0\).
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((p,q)\) pour que \((E)\) possède un couple de solutions inverses l’une de l’autre.
[oraux/ex4921] ens paris MP 2012 Soit \(f \in{\cal C}^0(\mathbf{R}^+ ,\mathbf{R})\) telle que \(1-f\) soit intégrable. Montrer que pour tout \((\alpha_1,\alpha_2)\in \mathbf{C}^2\), il existe une solution \(x\) de l’équation différentielle \(x''+f(t)\,x=0\) telle que la fonction \(t \mapsto x(t)-\alpha_1 e^{it}-\alpha_2 e^{-it}\) ait une limite nulle en \(+\infty\).
[oraux/ex4921]
[concours/ex3297] ens cachan M 1993 Soit \(y\) une solution non nulle d’une équation différentielle linéaire à coefficients continus \((e)\) : \(y''+ay'+by=0\). Montrer que si \(y\) s’annule au moins deux fois, il existe \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(y\) s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\) mais ne s’annule pas sur \(\left]\alpha,\beta\right[\). Montrer que si \(z\) est une solution de \((E)\) indépendante de \(y\), \(z\) s’annule une fois et une seule entre \(\alpha\) et \(\beta\).
[concours/ex3297]
[planches/ex1060] centrale MP 2015 On considère l’équation différentielle \[(E_1)\ :\quad x''+p(t)x'+q(t)x=0.\]
[planches/ex1060]
Soient \(u_1\) et \(u_2\) deux solutions de \((E_1)\) telles que \(u_1u_2=1\). On pose \(z_i=\displaystyle{u'_i\over u_i}\). Montrer que les \(z_i\) sont deux solutions opposées d’une équation différentielle non linéaire \((E_2)\).
En déduire une condition néessaire et suffisante sur \(p\) et \(q\) pour que \((E_1)\) admette deux solutions \(u_1\) et \(u_2\) telles que \(u_1u_2=1\).
Résoudre \((1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4t))x''-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(4t)x'-8x=0\).
[concours/ex2465] ens lyon M 1995 Soient \(f\) et \(g\) deux applications continues et bornées de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x''+f(t)x'+g(t)x=0\) et les conditions initiales \((CI)\) : \(x(0)=\alpha\), \(x'(0)=\beta\).
[concours/ex2465]
Montrer qu’il existe une unique fonction \(u\) définie sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((E)\) et \((CI)\).
Montrer que l’espace \(\mathscr{S}\) des solutions de \((E)\) définies sur \(\mathbf{R}\) est de dimension \(2\).
Soient \(x_1\) et \(x_2\) dans \(\mathscr{S}\). On pose \(w(t)=x_1(t)x'_2(t)-x_2(t)x'_1(t)\). Montrer que \(w\) est la fonction nulle ou ne s’annule jamais.
Soit \((x_1,x_2)\) une base de \(\mathscr{S}\) \(t_1<t_2\) deux zéros consécutifs de \(x_1\). Montrer qu’il existe un unique zéro de \(x_2\) sur \(\left]t_1,t_2\right[\).
On suppose \(f=0\) et \(g\leqslant 0\). Montrer qu’un élément de \(\mathscr{S}\) s’annule au plus une fois.
[equadiff/ex0106] On considère l’équation \(x''+q(t)x=0\) où \(q\) est une fonction de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}\), strictement positive et croissante.
[equadiff/ex0106]
Montrer que toutes les solutions de l’équation sont bornées sur \(\mathbf{R}\).
[planches/ex0925] ens PC 2013 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telle que \(f(x)\rightarrow\ell>0\) quand \(x\rightarrow+\infty\), et \((*)\) : \(y''+fy=0\). Soit \(y:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) solution de \((*)\) telle que \(y(0)=0\).
[planches/ex0925]
Que dire si \(y'(0)=0\) ?
On suppose \(y'(0)>0\). Montrer qu’il existe \(t>0\) tel que \(y'(t)=0\).
Montrer que \(y\) a une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_+\).
[concours/ex4064] polytechnique P 1990 Conditions nécessaires et suffisantes sur les fonctions \(p\) et \(q\), supposées continues sur \(\mathbf{R}\), pour que l’équation différentielle \[x''+p(t)x'+q(t)x=0\] admette deux solutions, \(x_1\) et \(x_2\), telles que :
[concours/ex4064]
\(\forall t\in\mathbf{R}^*\quad x_1(t)\neq0\) ;
\(\forall t\in\mathbf{R}\quad x_2(t)=tx_1(t)\).
[concours/ex2908] centrale M 1994 Soient \(I\) un intervalle réel, \(p\) et \(q\) des applications continues définies sur \(I\) et à valeurs réelles. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\). Trouver une condition portant sur les fonctions \(p\) et \(q\) pour que \((E)\) admette sur \(I\) deux solutions \(u\) et \(v\) non nulles telles que pour tout \(x\), on ait : \(v(x)=xu(x)\).
[concours/ex2908]
Application : résoudre, sur \(\left]0,+\infty\right[\), puis sur \(\left[0,+\infty\right[\), l’équation : \[x^2y''+x(1-2x)y'+\left(x^2-x-{1\over4}\right)y=x^{5/2}.\]
[planches/ex3693] mines PSI 2018
[planches/ex3693]
Soit \(y:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue et \(c\in\mathbf{R}\) tels que \(\forall x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c+\displaystyle\int_a^x\varphi(t)y(t)\,dt\).
Montrer que, pour tout \(x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_a^x\varphi(t)\,dt\right)\).
Soit \(q\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^1\) de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), croissante, et \(f\) une solution de l’équation \(f''+qf=0\). Montrer que \(f\) est bornée.
[concours/ex6044] centrale MP 2007 Soient \(m\in\mathbf{R}_+^*\) et \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(q(t)\geqslant m\). On note \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\).
[concours/ex6044]
Montrer qu’il existe \(p\), \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^1\) avec \(p>0\) telles que \(f=p\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits g\) et \(f'=p\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits g\).
Exprimer \(g'\) en fonction de \(g\) et \(q\).
En déduire que \(g\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\mathbf{R}_+\) sur \(g(\mathbf{R}_+)\).
Montrer que \(f\) s’annule une infinité de fois.
[oraux/ex3050] centrale MP 2009 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((H)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\).
[oraux/ex3050]
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour qu’il existe deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) de \((H)\) telles que \(x_2=xy_1\) et \(y_1\neq0\).
Déterminer alors toutes les solutions de \((H)\).
[planches/ex0963] centrale PSI 2013 Soient \(I\subset\mathbf{R}\) un intervalle, \(A\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+Ay'+By=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(\forall x\in I\), \(y_2(x)=xy_1(x)\).
[planches/ex0963]
[concours/ex5307] ens paris MP 2007 Soient \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\) et \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) strictement croissante telles que \(f''+gf=0\).
[concours/ex5307]
Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est mas majoré.
Montrer que \(f\) est bornée au voisinage de \(+\infty\).
[oraux/ex2949] ens paris MP 2008 Soit \(g\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+^*,\mathbf{R}_+^*)\). On suppose qu’il existe \(m>0\) tel que \(g\geqslant m\). Soit \(f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de : \(y''+gy=0\).
[oraux/ex2949]
Montrer que \(f\) admet une infinité de zéros.
On suppose \(g\) croissante. Montrer que \(f\) est majorée au voisinage de \(+\infty\).
[planches/ex6387] ens lyon PC 2021 Pour \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), on pose \(W=\left|\matrix{\varphi_1&\varphi'_1\cr\varphi_2&\varphi'_2}\right|\).
[planches/ex6387]
Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soient \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) deux solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Que dire de la fonction \(W\) ?
Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soit \(\varphi_1\) une solution de \(y''+q_1y=0\) et \(\varphi_2\) une solution de \(y''+q_2y=0\). Calculer \(W'\).
Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(q\) est minorée par un réel strictement positif \(\alpha\). Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) s’annule une infinité de fois.
[concours/ex0100] polytechnique MP 1996 Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) et \(A\) (resp. \(B\)) une application \(C^1\) (resp. \(C^0\)) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+A(x)y'+B(x)y=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(y_2=xy_1\).
[concours/ex0100]
Résoudre \(y''+2xy'+(1+x^2)y=xe^{-x^2/2}\).
[planches/ex7278] centrale PC 2021
[planches/ex7278]
Soit \(g\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(g''\leqslant 0\).
Montrer que, pour tout \((t_0,t)\in\mathbf{R}^2\), \(g(t)\leqslant g(t_0)+(t-t_0)g'(t_0)\).
Soit \(a>0\). Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(q(t)\geqslant a\). Soit \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est pas majoré.
[oraux/ex5532] mines PC 2012 Soient \(\varphi\in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R}^{+*})\) croissante et \((E)\) l’équation \((E)\) : \(x''(t)+\varphi(t)\, x(t)=0\). Montrer que \(x\) est bornée.
[oraux/ex5532]
Indication : On multipliera par \(x'/\varphi\).
[planches/ex8628] centrale PSI 2022 (avec Python)
[planches/ex8628]
Soit \(q:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}\) continue. On s’intéresse à l’équation différentielle \((E_{a,b})\) : \(y''+(1+q)y=0\), \(y(0)=a\), et \(y'(0)=b\).
Tracer avec Python les solutions pour \((a,b)\in\{(1,0),(0,1)\}\) et pour les fonctions \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over\sqrt{1+t}}\), \(q:t\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over t}\right)\), \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over1+t^2}\). et \(q:t\longmapsto\displaystyle{-t^2\over2(1+t^2)}\). On tracera ces solutions sur l’intervalle \([0,50]\).
Pour quelles fonctions \(q\) la solution semble-t-elle bornée ?
On suppose dans cette question que \(q\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).
Soit \(z:x\longmapsto\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)f(t)\,dt\) avec \(f\) continue, intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(z''+z\).
Soit \(y\) une solution de \((E_{a,b})\).
Montrer que, pour \(t\in\mathbf{R}_+\), \(0\leqslant|y(t)|\leqslant|a|+|b|+\displaystyle\int_0^x|q(t)|\,|y(t)|\,dt\).
En déduire que \(y\) est bornée.
La condition \(q\) intégrable est-elle suffisante/nécessaire pour que les solutions de \((E_{a,b})\) soient bornées ?
[oraux/ex3141] polytechnique MP 2011 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) de limite nulle en \(+\infty\) et de dérivée intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que toutes les solutions de l’équation différentielle \(y''+(1+f(t))y=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[oraux/ex3141]
[oraux/ex2901] centrale PSI 2005 Soit \(E\) l’ensemble des \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)-(1+x^4)f(x)=0\).
[oraux/ex2901]
Montrer que \(E\) contient une unique fonction \(f_0\) telle que \(f_0(0)=1\) et \(f_0'(0)=1\).
Montrer que \(f_0^2\) est convexe.
Montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(f_0(t)\geqslant 1\).
Montrer que \(1/f_0^2\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).
Soit \(f_1:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f_0(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f_0^2(t)}\).
Montrer que \(f_1\in E\).
Montrer que \(f_1'\geqslant 0\) et que \(f_1\) est bornée.
Quels sont les éléments bornés de \(E\) ?
[planches/ex1114] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \[(1)\quad y''=(1+x^4)y.\]
[planches/ex1114]
Montrer que \((1)\) possède une unique solution \(y\) telle que \(y(0)=y'(0)=1\).
Soit \(f\) une solution de \((1)\). On suppose \(\displaystyle{1\over f^2}\) intégrable. Montrer que \(x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{1\over f^2(t)}\,dt\) est également solution de \((1)\) (?).
Montrer que si \(f\) solution de \((E)\) vérifie \(f(0)=f'(0)=1\) alors \(\displaystyle{1\over f^2}\) est intégrable.
[oraux/ex5086] polytechnique MP 2012
[oraux/ex5086]
Soient \(y \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R})\), \(a\in\mathbf{R}^+\), \(g \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R}^+)\) et \(G : t \mapsto \displaystyle\int_0^t g(s)\,ds\). On suppose que \(\forall t \in \mathbf{R}^+\), \(y(t) \leqslant a+\displaystyle\int_0^t y(s)\,g(s)\,ds\). Montrer que \(\forall t \in \mathbf{R}^+, \; y(t) \leqslant a \,e^{G(t)}.\)
Soit \(f \in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) de limite \(1\) en \(+\infty\) et dont la dérivée est intégrable sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(h\) une solution maximale de l’équation différentielle \(x''(t)+f(t)\,x(t)=0\). Montrer que \(h\) et \(h'\) sont bornées.
[planches/ex1115] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \(y''=x^4y\) (?).
[planches/ex1115]
Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).
On admet que \(1/f^2\) est définie et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(g:x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f(t)^2}\) est aussi solution de l’équation étudiée.
Montrer le résultat admis dans la question précédente.
[oraux/ex3153] mines MP 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''=(x^4+1)y\).
[oraux/ex3153]
Montrer que cette équation possède une unique solution \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).
Montrer que \(g=f^2\) est convexe.
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)\geqslant 1\).
Montrer que \(1/g\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).
Montrer que \(x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over g(t)}\) est également solution de \((E)\).
[examen/ex0458] centrale MP 2023 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty([0,\pi],\mathbf{R})\) et \(F=\{f\in E,\ f(0)=f(\pi)=0\}\). Soient \(\varphi,q\in E\), la fonction \(q\) étant positive. On note \(\alpha\) une primitive de \(\varphi\). On pose \(D(y)=y''+\varphi y'-qy\) et \(L(y)=-e^\alpha D(y)\) pour tout \(y\in E\), et \(\langle y,z\rangle=\displaystyle\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,\mathrm{d}x\) pour tous \(y\), \(z\in F\).
[examen/ex0458]
Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Montrer que \(\langle\ ,\ \rangle\) est un produit scalaire sur \(F\).
Soit \(h\in E\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(f_0\in F\) telle que \(D(f_0)=h\).
[planches/ex1074] tpe PSI 2015 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\Phi:E\rightarrow E\) qui à \(f\) associe \(g\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(g(x)=f'(x)-xf(x)\). Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\), puis \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\mathbin{\circ}\Phi\).
[planches/ex1074]
[concours/ex5477] polytechnique MP 2007 Soient \(f\in\mathscr{C}^1(\left]0,+\infty\right[,\mathbf{R})\) et \(g\) une solution de \((E)\) : \(y''+fy=0\), non identiquement nulle.
[concours/ex5477]
Montrer que les zéros de \(g\) sont isolés. Dans la suite, \(x_1\) et \(x_2\) sont deux zéros consécutifs de \(g\) vérifiant \(x_1<x_2\).
Montrer, si \(x\in[x_1,x_2]\) : \[\hskip-1cm(x_2-x)\int_{x_1}^x(t-x_1)f(t)g(t)\,dt+ (x-x_1)\int_x^{x_2}(x_2-t)f(t)g(t)\,dt =(x_2-x_1)g(x).\]
En déduire une minoration de \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}|f(t)|\,dt\).
[oraux/ex5392] mines MP 2012 Soit \(f\,:\;\mathbf{R}^{+*}\to\mathbf{R}\) continue. On considère l’équation différentielle \((E)\) \(y''=f\,y\).
[oraux/ex5392]
Montrer que les zéros des solutions non nulles sont isolés.
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \((E)\). Montrer : \[\int_\alpha^\beta\left|f(t)\right|\,dt>\frac4{\beta-\alpha}.\]
[oraux/ex3012] polytechnique MP 2009 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\) et \(f\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \(u\) dans \(\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que : \(u''+fu=0\) et \(u(a)=u(b)=0\). Montrer : \(\displaystyle\int_a^b|f(t)|\,dt\geqslant(b-a)/4\).
[oraux/ex3012]
[planches/ex1018] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+a(x)y=0\).
[planches/ex1018]
Montrer que les wronskiens relatifs à \((E)\) vérifient une équation différentielle du premier ordre.
Soit \(T>0\). Montrer que les trois énoncés suivants sont équivalents :
\((E)\) possède un wronskien \(T\)-périodique ;
tous les wronskiens de \((E)\) sont périodiques ;
la fonction \(a\) est \(T\)-périodique de valeur moyenne nulle.
[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.
[oraux/ex3075]
[oraux/ex2942] centrale PC 2006 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et, pour \(f\in E\), \(\mu(f)\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\mu(f)(x)=f'(x)-xf(x).\]
[oraux/ex2942]
Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(E\), déterminer son noyau.
L’application \(\mu\) est-elle surjective ?
Si \(g\in E\), déterminer \(\mu^{-1}(g)\).
Déterminer \(\mu\mathbin{\circ}\mu\).
Résoudre : \(y''-2xy'+(x^2-1)y=0\).
Si \(n\in\mathbf{N}^*\), résoudre \(\mu^{(n)}(f)=0\).
[oraux/ex2970] mines PSI 2008 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(p\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) et \(k\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que la seule solution de l’équation différentielle \(y''+p(x)y'-ky=0\) satisfaisant la condition \(y(a)=y(b)=0\) est la solution nulle.
[oraux/ex2970]
[planches/ex1009] mines MP 2014 Soit \((E)\) l’équation différentielle \[y''+e^xy=0.\]
[planches/ex1009]
Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
Les solutions de \((E)\) sont-elles toutes bornées sur \(\mathbf{R}\) ?
[planches/ex3377] polytechnique, espci PC 2018 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(q>0\), \(q'>0\). Montrer que les solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[planches/ex3377]
[equadiff/ex0157] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. On en cherche une solution sous la forme d’un produit de deux fonctions \(u\) et \(v\), i. e. \(y=uv\).
[equadiff/ex0157]
Déduire de cette égalité que \(u\) vérifie une équation différentielle : \[a_2u''+b_2u'+c_2u=f(x),\] dont les coefficients dépendent de \(x\) et de la fonction \(v\).
On choisit alors \(v\) pour pour que cette équation ne contienne pas \(u'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).
Application : résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[xy''+2y'-xy=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x,\] en remarquant qu’on peut prendre \(v(x)=\displaystyle{1\over x}\).
[equadiff/ex0881] Soit \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\) une équation différentielle linéaire du deuxième ordre homogène à coefficients non forcément constants, de classe \(C^1\) sur l’intervalle \(I\).
[equadiff/ex0881]
Écrire l’équation \((E')\) transformé de \((E)\) en posant \(y=uz\).
Déterminer une équation différentielle simple que doit vérifier la fonction \(u\) de sorte de \((E')\) ne contienne plus de terme en \(z'\), et résoudre cette équation en \(u\).
Montrer que \((E')\) peut se mettre sous la forme : \(z''=cz\), et exprimer la fonction \(c\) en fonction de \(a\) et \(b\).
Déterminer \(u\) et \(c\) quand \(a\) et \(b\) sont constants.
[planches/ex1104] mines MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(q(x)>0\) et \(q'(x)>0\). Montrer que les solutions de \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[planches/ex1104]
Indication : Multiplier par \(y'/q\).
[planches/ex0932] polytechnique MP 2013 Soient \(a\in\left]0,\pi\right[\) et \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)|\leqslant a\).
[planches/ex0932]
[oraux/ex3133] ens lyon MP 2011 Soit \(\varphi\) une solution maximale non identiquement nulle de \(y''+e^xy=0\).
[oraux/ex3133]
Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbf{R}\).
Montrer que l’on peut ranger l’ensemble des zéros de \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}_+\) en une suite strictement croissante \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\).
Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow0\) quand \(n\rightarrow+\infty\).
Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow+\infty\).
[concours/ex3679] mines M 1992 Montrer que toutes les solutions de \(y''+e^xy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[concours/ex3679]
[oraux/ex3082] polytechnique MP 2010 Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non identiquement nulle de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+e^ty=0\). Montrer que \(f\) admet une infinité dénombrable de zéros.
[oraux/ex3082]
[planches/ex8133] mines MP 2022 Soit \(f:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On se donne \(c\geqslant 0\), on pose \(F:x\longmapsto c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\) et on suppose que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant F(x)\).
[planches/ex8133]
Étudier les variations de \(x\longmapsto\displaystyle{F(x)\over x}\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en déduire que \(f\) est bornée.
Soit \(g\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de l’équation différentielle \(y''+xy=0\). En s’intéressant à \(g^2\), montrer que \(g\) est bornée.
[planches/ex8462] mines PC 2022
[planches/ex8462]
Soit \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\). On suppose qu’il existe \(c\geqslant 0\) tel que, pour tout \(x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) solution de \(y''+xy=0\). Montrer que \(y\) est bornée.
[oraux/ex3142] polytechnique MP 2011 Soit \(a\) dans \(\left]0,\pi\right[\).
[oraux/ex3142]
Déterminer \(y\) de classe \(C^2\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \(y(0)=a\), \(y'(0)=0\), \(y''=-y\).
Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et bornée par \(a\) sur \(\mathbf{R}\).
Trouver \(C>0\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)-y(t)|\leqslant Ct^2\).
[oraux/ex4963] ens PC 2012 Soient \((E)\) : \(y''+(1+e^{-t}) y=0\) et \((F)\) : \(y''+y=0\). Soient \(f\) une solution non nulle de \((E)\) et \(g\) une solution non nulle de \((F)\).
[oraux/ex4963]
Montrer qu’entre deux zéros de \(g\) il y a au moins un zéro de \(f\).
Montrer que \(f\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}^+\). On note \((x_n)_{n\geqslant 0}\) la suite ordonnée des zéros de \(f\) sur \(\mathbf{R}^+\).
Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow \pi\).
Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow +\infty\).
[oraux/ex3129] ens lyon MP 2011 Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de classe \(C^2\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \((f,g)\) soit libre. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’existent deux fonctions \(a\) et \(b\) continues et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que : \(f''+af'+bf=0\) et \(g''+ag'+bg=0\).
[oraux/ex3129]
[planches/ex9268] ens saclay, ens rennes MP 2023 On considère l’équation différentielle \((D_{\lambda})\) : \(y'' + (\lambda-r)y =0\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(r \in\mathscr{C}^{\infty}(I, \mathbb{R})\), où \(I\) est un intervalle contenant \([0, 1]\).
[planches/ex9268]
On considère \(E_{\lambda}\) l’espaces des solutions \(y\) de \((D_{\lambda})\) telles que \(y(0) = 0\), \(y(1) = 0\).
Quelles sont les dimensions possibles de \(E_{\lambda}\) ?
Caractériser le cas \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E_{\lambda}) = 1\). (On souhaite une condition portant sur \(y_{\lambda}\), solution du problème de Cauchy \((D_{\lambda})\), \(y_{\lambda}(0) = 0\), \(y_{\lambda}'(0) = 1\).)
Montrer que, à \(r\) fixé, les \(E_{\lambda}\) sont orthogonaux pour le produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{0}^{1} fg\).
On note \(N_\lambda\) le nombre de zéros de \(y_{\lambda}\) sur \([0, 1]\). Pourquoi est-il fini ?
Calculer \(N_{\lambda}\) dans le cas \(r = 0\), \(\lambda > 0\).
Dans le cas général, étudier le comportement de \(N_{\lambda}\).
[planches/ex6154] ens lyon MP 2021 Soit \(k\in\mathbf{R}\). Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) vérifiant \(y''=(x^3+kx)y\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est majoré et non minoré.
[planches/ex6154]
[concours/ex6304] ens cachan MP 2006
[concours/ex6304]
Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.
[oraux/ex3148] polytechnique, espci PC 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''(x)+\left(1-e^{-x^2}\right)y(x)=0\).
[oraux/ex3148]
Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).
Soit \(y\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que \(y\) s’annule au moins une fois sur tout intervalle de la forme \([a,a+\pi]\) avec \(a\in\mathbf{R}\).
[planches/ex9979] mines MP 2023
[planches/ex9979]
Soient \(A\in\mathbf{R}^+\), \(f\), \(g:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}^+\) continues. On suppose que : \[\forall x\geqslant 0,\quad f(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t.\] Montrer que \(\forall x\geqslant 0\), \(f(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_0^xg(t)\,\mathrm{d}t\right)\).
Soit \((*)\) l’équation différentielle \(x''(t)+a(t)x(t)=b(t)\) avec \(a\) et \(b\) continues sur \(\mathbf{R}^+\), \(b\) et \(t\mapsto t\,a(t)\) intégrables sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(x\) solution de \((*)\).
Montrer que : \[\forall t\geqslant 1,\quad x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)\,\mathrm{d}u+\int_1^t(t-u)\,b(u)\,\mathrm{d}u.\]
On pose, pour \(t\geqslant 1\), \(y(t)=\displaystyle\frac{|x(t)|}{t}\). Montrer l’existence de \(K\) tel que : \[\forall t\geqslant 1,\quad y(t)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^tu\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^{+\infty}u\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right).\]
[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).
[concours/ex3550]
[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).
[oraux/ex3136]
Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).
[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.
[oraux/ex2986]
Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).
Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).
Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).
[concours/ex1374] ens cachan MP 1998 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathbf{R}^2\) euclidien, et \[E=\{u\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R}^2)\mid u(0)=A,\ u(1)=B\}.\] Soit \(n\) une application de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), de classe \(C^2\). Pour \(u\in E\), on pose \(F(u)=\displaystyle\int_0^1n(u(t))\|u'(t)\|^2\,dt\). On suppose qu’il existe \(u_0\in E\) tel que \(F(u_0)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits_{u\in E}F(u)\). Montrer que \(u_0\) est de classe \(C^2\) et trouver une équation différentielle vérifiée par \(u_0\).
[concours/ex1374]
[concours/ex4170] mines M 1990 Soit \(f\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de : \[y''+e^{-t^2}y=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t.\] On suppose \(f\) bornée et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2\) convergente. Montrer que \(f'\) est bornée, puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{t\rightarrow+\infty}f(t)=0\).
[concours/ex4170]
[oraux/ex3187] centrale PC 2011 (avec Maple)
[oraux/ex3187]
Soit, pour \(a\in\mathbf{R}\), \((E_a)\) : \((x-1)y''(x)-y'(x)+4a(x-1)^3y(x)=0\).
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour qu’il existe une solution non nulle de \((E_a)\) s’annulant en 0 et en 1. On note \((a_k)_{k\geqslant 0}\) la suite strictement croissante des réels ainsi trouvés.
Soit, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(\varphi_k:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt{a_k}x(x-2))\).
Si \((f,g)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})^2\), on pose \(\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_0^12(1-x)f(x)g(x)\,dx\). Montrer que cette application définit un produit scalaire sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\). Calculer \(\langle\varphi_k,\varphi_j\rangle\) pour \((j,k)\in\mathbf{N}^2\).
Soit \((b_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\). On suppose que la série de terme général \(b_n\) est absolument convergente. Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_k\varphi_k(x)\). Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}\). Exprimer les \(b_k\) à l’aide d’une intégrale faisant intervenir \(F\) et les \((\varphi_n)_{n\geqslant 0}\).
[planches/ex0957] centrale MP 2013 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}_+)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''=q(x)y\).
[planches/ex0957]
Soit \(f\) une solution de \((E)\) telle que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\). Montrer que \(f\) et \(f'\) sont strictement positives et que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\).
Soient \(u\) et \(v\) les solutions de \((E)\) telles que \(u(a)=1\), \(u'(a)=0\), \(v(a)=0\), \(v'(a)=1\). Calculer \(u'v-uv'\). Montrer que, sur \(\left]a,+\infty\right[\), \(u/v\) et \(u'/v'\) sont monotones de monotonies opposées. Montrer que \(u/v\) et \(u'/v'\) tendent en \(+\infty\) vers la même limite réelle.
Montrer qu’il existe une unique solution \(g\) de \((E)\), strictement positive, telle que \(g(a)=1\) et telle que \(g\) décroisse sur \(\left[a,+\infty\right[\).
Déterminer \(g\) lorsque \(q(x)=\displaystyle{1\over x^4}\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). On pourra poser \(y(x)=xz(1/x)\).
[planches/ex9340] ens PSI 2023 Soient \(a>0\) et \(q \in\mathscr{C}^2(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}^{+*})\) telle que \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t = +\infty\).
[planches/ex9340]
Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\)
Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\) qui n’ont pas de zéros en commun. On pose \(\Phi = y_1 + iy_2\) et \(\Phi (a) = r_0e^{i\theta_0}\).
Montrer que \(\forall x \geqslant a\), \(\Phi (x) = e^{\Psi(x)}\) où \(\Psi(x)=\displaystyle\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \,{\rm d}t + \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (r_0) + i\theta_0\).
Montrer que l’on peut écrire \(y_1(x) =r(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta(x))\) et \(y_2(x) =r(x) \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta(x))\) où \(r(x) = \sqrt{y_1^2(x) + y_2^2(x)}\) et \(\theta (x) = \theta_0 +\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{y_1y'_2-y_2y'_1}{y_1^2+ y_2^2}\).
On pose \(x \mapsto f(x) =\displaystyle\int_a^{x} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\left[a,+\infty\right[\) sur \(\mathbf{R}^+\).
Soit \(y\) une solution de \((E)\), non identiquement nulle. On pose \(Y = y\mathbin{\circ} f^{-1}\). Montrer que \(Y'' +vY' +Y =0\) où \(v~: t \mapsto\displaystyle\frac{q'(f^{-1}(t))}{2 (q(f^{-1}(t)))^{3/2}}\).
Montrer que \(Y\) et \(Y'\) n’ont pas de zéro en commun et que l’on peut écrire \(Y = r \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits (\theta)\) et \(Y'= r \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta)\) où \(r\), \(\theta\) sont des fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\).
Montrer que \((r^2)' = -2v r^2 \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(\theta)\). En déduire que \(y\) et \(y'\) sont bornées.
[planches/ex1597] ens PSI 2017 Si \(x\) est un nombre réel, on note \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) la partie fractionnaire de \(x\). Soient \(\theta\in\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}\) et \(f:\mathbf{N}\rightarrow\left[0,1\right[\), \(n\mapsto\{n\theta\}\).
[planches/ex1597]
Montrer que \(f\) est injective.
Montrer que : \(\forall\varepsilon>0\), \(\exists(m,n)\in\mathbf{N}^2\), \(m\neq n\) et \(0<f(m)-f(n)<\varepsilon\).
En déduire que \(\{x\in\mathbf{R},\ \exists(a,b)\in\mathbf{Z}^2,\ x=a+b\theta\}\) est dense dans \(\mathbf{R}\).
On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+2y'+2y=f\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) est non constante. On suppose que \((E)\) possède deux solutions périodiques \(y_1\) et \(y_2\) de périodes respectives \(T_1\) et \(T_2\). On se propose de montrer que \(y_1=y_2\).
Montrer que \(T_1/T_2\) est un nombre rationnel.
Montrer que la fonction \(y_2-y_1\) est bornée.
Montrer que \(y_2=y_1\).
[planches/ex0917] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2013 Soient \(\eta\) et \(\varphi\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), avec \(\eta\) à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-\eta y=\varphi\).
[planches/ex0917]
Montrer que \((E)\) admet au plus une solution 1-périodique.
On suppose \(\eta\) constante. Montrer que \((E)\) possède une solution 1-périodique.
Établir l’existence de \(\alpha>0\) tel que, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\) vérifiant \(0<|\lambda|<\alpha\), l’équation \(u''-\lambda\eta u=\varphi\) admette une solution 1-périodique.
Indication : On écrit \(\varphi=\lambda\varphi_1+\varphi_0\) avec \(\varphi_1\) constante et \(\displaystyle\int_0^1\varphi_0=0\). On cherche alors la solution \(u\) sous la forme \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\lambda^n(u_n+c_n)\) où \(c_n\) est constante de \(u_n\) est une fonction 1-périodique vérifiant \(u_n(0)=0\).
[oraux/ex3146] polytechnique, ens cachan PSI 2011
[oraux/ex3146]
Donner un exemple de fonction continue, non identiquement nulle au voisinage de 0 et telle que 0 n’est pas un zéro isolé.
Soient \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable et \(a\in\mathbf{R}\). On suppose que \(f(a)=0\) et que \(a\) n’est pas un zéro isolé de \(f\). Montrer que \(f'(a)=0\).
Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(f:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable telle que \(f(a)=f(b)=0\) et \(\forall x\in\left]a,b\right[\), \(f(x)\geqslant 0\). Montrer : \(f'(a)f'(b)\leqslant 0\).
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\).
Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(f\) sont isolés.
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions de \((E)\) et \(t_0\in I\). On suppose qu’il existe \(c\in\mathbf{R}\) tel que \(f(t_0)=cg(t_0)\) et \(f'(t_0)=cg'(t_0)\). Montrer : \(f=cg\).
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que le wronskien \(W\) de \(f\) et de \(g\) ne s’annule pas. Exprimer \(W(t)\) en fonction de \(W(t_0)\). Montrer que, entre deux zéros consécutifs de \(f\), la fonction \(g\) s’annule.
[planches/ex1596] ens PSI 2017 Soit \(f\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R})\) et \(c\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R}_+)\). On considère le problème aux limites : \[(1)\qquad-u''(x)+c(x)u(x)=f(x),\quad u(0)=u(1).\]
[planches/ex1596]
Pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère le système : \[(2)\qquad-u_\lambda(x)+c(x)u_\lambda(x)=f(x),\quad u_\lambda(0)=0,\quad u_\lambda(0)=\lambda.\] Montrer que \((2)\) possède une unique solution \(u_\lambda\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).
En déduire qu’il existe une unique solution de \((1)\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).
Indication : On pourra montrer que \(\varphi:\lambda\mapsto u_\lambda(1)\) est affine.
Montrer que si \(f\geqslant 0\), alors \(u\geqslant 0\).
[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.
[planches/ex0923]
Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).
[oraux/ex2894] centrale MP 2005 Soit \(q\) une fonction continue et positive définie sur \(\mathbf{R}\). On note \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-qy=0\).
[oraux/ex2894]
Montrer qu’une solution non nulle de \((E)\) ne s’annule qu’au plus une fois.
Désormais \(q(t)=e^t\). Montrer que les solutions de \((E)\) sont développables en série entière.
Donner l’allure des solutions \(f\) et \(g\) de \(y''-e^ty=0\) vérifiant les conditions initiales \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).
[planches/ex0996] polytechnique MP 2014 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue telle que \(t\mapsto tq(t)\) soit intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \(y:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction deux fois dérivable telle que \(y''+qy=0\). Montrer successivement :
[planches/ex0996]
que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) est bornée au voisinage de \(+\infty\) ;
que \(y'\) a une limite finie en \(+\infty\) ;
que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) a une limite finie en \(+\infty\).
[concours/ex3343] centrale M 1993 On considère l’équation différentielle \((E)\) : \[y''+y'+p(x)y=0.\] Trouver \(p(x)\) pour que \((E)\) admette deux solutions \(y_1\), \(\mu y_2\) non identiquement nulles et telles que \(y_2=y_1^2\). Résoudre alors \((E)\).
[concours/ex3343]
[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).
[planches/ex9503]
Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).
Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).
Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).
[oraux/ex4930] ens lyon MP 2012 On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^1([-1,1],\mathbf{R})\) vérifiant \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=1\). On considère \(J : f \in E \mapsto \displaystyle\int_{-1}^1 \left(x\, f'(x)\right)^2\,dx\). La fonction \(J\) possède-t-elle un minimum ?
[oraux/ex4930]
[oraux/ex3077] ens cachan MP 2010 Soient \(T\in\mathbf{R}_+^*\) et \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique. On pose \(a_0=\displaystyle{1\over T}\int_0^Ta(x)\,dx\). Pour \(\varepsilon>0\), soit \(a_\varepsilon:x\mapsto a(x/\varepsilon)\). Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R})\).
[oraux/ex3077]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0^+}\displaystyle\int_0^1a_\varepsilon(u)\varphi(u)\, du=a_0\displaystyle\int_0^1\varphi(u)\,du\).
On suppose désormais qu’il existe \(\alpha>0\) tel que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(a(x)\geqslant\alpha\). Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\).
Soit \(\varepsilon>0\). Montrer qu’il existe une unique \(u_\varepsilon\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) solution du problème \((a_\varepsilon u')'=f\) et \(u(0)=u(1)=0\).
Que dire de \(u_\varepsilon\) lorsque \(\varepsilon\rightarrow0^+\) ?
[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]
[planches/ex1100]
[planches/ex6022] polytechnique PC 2020 Soit \(f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable, positive, décroissante et non intégrable sur \(\left[0,+\infty\right[\).
[planches/ex6022]
Soit \(y:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), non identiquement nulle et vérifiant \(y''+fy=0\).
Est-il possible d’avoir \(y\geqslant 0\) ? On pourra considérer \(E=fy^2+(y')^2\).
Soit \(t_0>0\) tel que \(y(t_0)=0\). Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\forall t\in[t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon]\setminus\{t_0\}\), \(y(t)\neq 0\).
Déduire de la première question que \(y\) s’annule. Montrer que \(y\) admet une infinité de zéros. Comment interpréter le résultat d’un point de vue physique ?
[planches/ex9269] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(I\) un intervalle non trivial de \(\mathbf{R}\), et \(a\), \(b\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex9269]
On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0\).
Soit \(x\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(x\) sont isolés.
On suppose \(a\) de classe \(\mathscr{C}^1\). Montrer qu’il existe \(z\) de classe \(\mathscr{C}^2\) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\), et \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue telles que \(x \mapsto [t \mapsto x(t)\,e^{z(t)}]\) définisse une bijection de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur celui des solutions de \(y''+q(t)\,y=0\).
Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1 \leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i \in \{1,2\}\). Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs de \(y_1\).
Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue, et \(m,M\) deux réels strictement positifs tels que \(m \leqslant q \leqslant M\).
Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \(y''+q(t)y=0\). Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}} \leqslant\beta-\alpha \leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\).
[oraux/ex3170] centrale MP 2011 (avec Maple)
[oraux/ex3170]
Soit \((E_\lambda)\) l’équation \(-y''+x^2y=\lambda y\).
Tracer les solutions pour \(\lambda\in\{1,2\}\) pour chacune des conditions initiales suivantes : \(\{y(0)=0,\ y'(0)=1\}\) et \(\{y(0)=1,\ y'(0)=0\}\).
On étude \((E_1)\). Chercher les valeurs de \(\sigma\) telles que \(t\mapsto e^{at^2}\) soit solution. En déduire toutes les solutions de \((E_1)\) à l’aide de \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{t^2}\,dt\). Chercher avec Maple un équivalent de \(\varphi\) en \(+\infty\). Quelles sont les solutions bornées de \((E_1)\) ?
Soit \(y\) une solution de \((E_\lambda)\). Déterminer une équation vérifiée par \(u:x\mapsto y(x)e^{x^2/2}\). Montrer que ces fonctions \(u\) sont développables en série entière, et qu’il en est de même de toutes les solutions de \((E_\lambda)\).
[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).
[oraux/ex3140]
[oraux/ex4961] ens PC 2012 Soient \(a,b,c,d\) dans \({\cal C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\). On suppose : \(a>0\), \(c<0\) et \(d>0\). Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(ay''+by'+cy=d\), \(y(0)=0\).
[oraux/ex4961]
Si \(y'(0)=0\), montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}^{+*}\), \(y(t)>0\).
On suppose qu’il existe \(t_1>0\) tel que \(y(t_1)>0\). Montrer : \(\forall t\geqslant t_1\), \(y(t)\geqslant 0\).
[oraux/ex2799] mines 2003
[oraux/ex2799]
Soit \((E)\) : \(y''+y=f(x)\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). Montrer que : \[g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,dt\] est une solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\).
Soit \(\sigma>0\). On cherche une solution du problème de Cauchy \((E')\) : \(y''+y=\sigma y^2\), \(y(0)=1/2\) et \(y'(0)=0\). Soit \(b>0\) tel que \(\sigma b<1/2\). Soit \((y_n)\) la suite définie par : \[y_0(x)={1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\quad\hbox{et}\quad\forall n\geqslant 1,\quad y_n''+y_n=\sigma y_{n-1},\ y_n(0)=y_n'(0)=0.\]
Exprimer \(y_n\) à l’aide de \(y_{n-1}\) et d’une intégrale.
Montrer : \(|y_n(x)-y_{n-1}(x)|\leqslant\displaystyle{1\over2}\,{(\sigma x)^n\over n\,!}\).
Montrer que \((E')\) a une unique solution sur \([0,b]\).
[concours/ex3119] polytechnique P 1993
[concours/ex3119]
Soit \(g\), \(k:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) avec \(g\) continue et \(k\) de classe \(C^1\) ne s’annulant pas sur \([a,b]\) et \[(E)\quad(ky')'+gy=0.\]
Montrer que l’ensemble des zéros d’une solution non nulle de \((E)\) est fini.
Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que si \(x_1\) et \(x_2>x_1\) sont deux zéros de \(y_1\), alors \(y_2\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).
Soit \(g_1\), \(g_2:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) continues telles que \(g_1<g_2\), \[(E_j)\quad(ky')'+g_jy=0\quad(j=1,2)\] et \(u\) une solution non nulle de \(E_1\) s’annulant en \(x_1\) et \(x_2>x_1\). Montrer que toute solution de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).
[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).
[planches/ex1079]
Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.
Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).
[planches/ex0965] centrale PSI 2013 Soit \(F\) l’espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur \(\left]0,+\infty\right[\). Pour \(f\in F\), on considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x^2y''+2y'-2y=f(x)\).
[planches/ex0965]
Trouver les fonctions \(x\mapsto x^r\) solutions de l’équation homogène associée à \((E)\).
Soit \(g(x)=\displaystyle\int_0^x{-tf(t)\over3x^2}\,dt+\int_x^{+\infty}{-xf(t)\over3t^2}\,dt\). Montrer que \(g\) est bien définie sur \(\left]0,+\infty\right[\) puis vérifier que \(g\) est solution de \((E)\).
Quel est le lien entre les deux questions précédentes ?
Montrer que l’application qui envoie \(f\) sur \(g\) définit un endomorphisme de \(F\).
[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).
[oraux/ex3138]
Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).
Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).
[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).
[planches/ex7887]
Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).
[oraux/ex3002] ens paris MP 2009 Soit \(E\) l’ensemble des fonctions complexes de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}^2\), \(2\pi\)-périodiques par rapport à la première variable. On se donne une fonction complexe \(f_0\) de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}\) et \(2\pi\)-périodique.
[oraux/ex3002]
Trouver \(f\in E\) telle que : \(\displaystyle{\partial f\over\partial t}(x,t)=-i\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}(x,t)\) et \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x,0)=f_0(x)\).
Expliciter une constante \(C\) telle que : \[\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}|f(x,t)|^4\,dx\,dt\leqslant C\left(\int_0^{2\pi}|f_0(x)|^2\,dx\right)^{\!2}.\]
[concours/ex4044] polytechnique pox P 1990 Soit \(f(x)=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x}\).
[concours/ex4044]
Trouver une équation différentielle linéaire, d’ordre \(2\), à coefficients polynomiaux, satisfaite par \(f\).
Résoudre cette équation.
[planches/ex2136] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) continues et 1-périodiques, et soit \(y\) solution de \(y''+ay'+by=0\) telle que \(y(0)=y(1)=0\). Montrer que \(y\) s’annule en tout \(k\in\mathbf{Z}\).
[planches/ex2136]
[oraux/ex3174] centrale MP 2011 (avec Maple)
[oraux/ex3174]
Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose qu’il existe \(L>0\) tel que : \(\forall(x,y,t)\in\mathbf{R}^3\), \(|f(t,x)-f(t,y)|\leqslant L|x-y|\). On fixe \(a\), \(b\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(x\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on note \(T(x)\) la fonction définie par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad T(x)(t)=a+bt+\int_0^t(t-s)f(s,x(s))\,ds.\]
Vérifier que \(T(x)\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}\).
On suppose \(f(t,x)=(2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t-2)x\). On prend pour \(y\) la fonction nulle. Tracer, pour \(8\leqslant n\leqslant 12\), le graphe de \(T^n(y)\) sur \([-6,6]\).
Montrer que pour toute \(x\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) la suite \((T^n(x))\) converge uniformément sur tout segment de \(\mathbf{R}\) vers une fonction \(y\) telle que \(y(0)=a\), \(y'(0)=b\), \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y''(t)=f(t,y(t))\).
[oraux/ex2784] mines 2003 Soit \(\lambda>0\). On considère l’équation différentielle : \[(E)\qquad y''=-y+\lambda y'(1-y^2).\] On note \(\varphi:I\rightarrow\mathbf{R}\) une solution maximale de \((E)\). On pose \(g=\varphi^2+(\varphi')^2\).
[oraux/ex2784]
Montrer que \(g'\leqslant 2\lambda g\).
Soit \(a\in I\).
Soit \(x\in\left[a,+\infty\right[\cap I\). Montrer que \(g(x)\leqslant g(a)e^{2\lambda(x-a)}\).
Montrer que \(I\supset\left[a,+\infty\right[\).
[oraux/ex3051] centrale MP 2009 (avec Maple)
[oraux/ex3051]
Soient \((E)\) : \((1-x)^3y''=y\) et \(y\) l’unique solution de \((E)\) définie sur \(I=\left]-\infty,1\right[\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\).
Justifier l’existence de \(y\) ; tracer le graphe de \(y\) à l’aide de la fonction odeplot du package plots.
odeplot
plots
On pose \(a_n=y^{(n)}(0)/n\,!\). Établir que \((a_n)\) vérifie une relation de récurrence liant \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(a_{n-1}\) et \(a_{n-3}\).
calculer \(a_n\) pour \(n\in\{0,\ldots,10\}\).
Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(|a_n|\leqslant\alpha^n\). Qu’en déduire sur \(y\) ?
Montrer que \(y\) est positive sur \(\left[0,1\right[\).
En déduire que \(y(x)\geqslant x+\displaystyle\int_0^x{x-t\over(1-t)^2}\,dt\).
Calculer cette intégrale avec Maple. Qu’en déduire sur le comportement de \(y\) ?
[oraux/ex3108] centrale MP 2010 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{C})\) telle que \(t\mapsto tq(t)\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).
[oraux/ex3108]
Justifier l’existence de \(a\in\mathbf{R}_+\) tel que \(\displaystyle\int_a^{+\infty}|tq(t)|\,dt\leqslant 1/2\).
Montrer qu’il existe une suite \((y_n)_{n\geqslant 0}\) de fonctions continues et bornées de \(\left[a,+\infty\right[\) vers \(\mathbf{C}\) telles que : \(y_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\forall x\in\left[a,+\infty\right[\), \(y_n(x)=1+\displaystyle\int_x^{+\infty}(t-x)q(t)y_{n-1}(t)\,dt\).
Montrer que \((y_n)\) converge uniformément vers une solution de \((E_a)\) : \(y''(t)+q(t)y(t)=0\), \(t\geqslant a\).
Montrer que l’équation \((E_0)\) : \(y''(t)+q(t)y(t)=0\), \(t\geqslant 0\), possède une solution \(Y\) telle que \(Y(t)\rightarrow1\) quand \(t\rightarrow+\infty\).
En déduire le comportement à l’infini des solutions de \((E_0)\) selon qu’elles sont, ou ne sont pas, bornées.
[oraux/ex3113] centrale PSI 2010 Soit \(u\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) telle que : \(u''(x)+e^xu'(x)=-1\), \(u(0)=u(1)=0\).
[oraux/ex3113]
Montrer que \(u\) n’admet pas de minimum local sur \(\left]0,1\right[\).
Montrer que \(u'(0)>0\) et \(u'(1)<0\).
Montrer que \(u\) existe et est unique. Exprimer \(u\) à l’aide d’intégrales.
[planches/ex2502] centrale MP 2017 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\). On considère l’équation différentielle \((\mathscr{E})\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).
[planches/ex2502]
Pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(y_\alpha\) l’unique solution de \((\mathscr{E})\) vérifiant \(y_\alpha(0)=1\) et \(y_\alpha'(0)=\alpha\).
Montrer que \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_0(x)y_0'(x)>0\). Montrer que \(y_0\) est strictement croissante.
Montrer que \(\forall\alpha\in\mathbf{R}\), \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_\alpha(x)=y_0(x)\left(\displaystyle\int_0^x{\alpha\over y_0^2(t)}\,dt\right)\).
Montrer qu’il existe \(\alpha_1<0\) tel que l’on ait, pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), l’équivalence entre « \(y_\alpha\) s’annule sur \(\mathbf{R}_+\) » et « \(\alpha<\alpha_1\) ». Calculer \(\alpha_1\).
[planches/ex1056] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) et \(x\) une solution strictement positive de \(x''+q(t)x=0\). On pose \(f=x'/x\).
[planches/ex1056]
Donner une équation différentielle satisfaite par \(f\).
Montrer que \(f\) est décroissante positive.
Que peut-on dire de l’intégrabilité de \(q\) ?
[planches/ex1080] ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(f\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(x''+f(t)x=0\) sur \([0,1]\).
[planches/ex1080]
Décrire la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\), rappeler le théorème de Cauchy linéaire, mettre le système différentiel associé à \((E)\) sous forme matricielle.
Montrer que si \(x\) est solution de \((E)\) et vérifie \(x(0)=x(1)=0\) alors \(x=0\).
Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que pour toute solution de \((E)\), on ait : \[\varepsilon^2\int_0^1x(t)^2\,dt\leqslant\varepsilon\int_0^1x'(t)^2\,dt\leqslant\int_0^1(1-t)x(t)^2\,dt.\]
[oraux/ex2981] centrale MP 2008 (avec Maple)
[oraux/ex2981]
Résoudre \(y''+\displaystyle{y\over x^2}=0\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) à l’aide de Maple. Existe-t-il des solutions bornées ?
Soit \((E)\) : \(y''+\displaystyle{y\over x^2+4x+3}=0\). On se donne une solution \(f\) bornée de \((E)\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). Montrer que \(f'\) admet une limite nulle en \(+\infty\). Existe-t-il des solutions non bornées sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?
[planches/ex1110] centrale MP 2016 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((1-x)^3y''(x)=y(x)\).
[planches/ex1110]
Déterminer la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\). Montrer que toutes ces solutions sont de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]-\infty,1\right[\).
Soient \(y\) une solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) et, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \(a_n=\displaystyle{y^{(n)}(0)\over n\,!}\). Trouver une relation de récurrence satisfaite par \((a_n)_{n\geqslant 0}\).
Montrer que les solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) sont développables en série entière au voisinage de 0.
Soit \(y\) la solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) telle que \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Que dire de \(y(x)\) lorsque \(x\) tend vers 1 ?
[planches/ex1090] ens PC 2016 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(k\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\) tels que, pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|f(x)|\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-kx)\).
[planches/ex1090]
Existe-t-il \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''-u=f\) et \(u(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?
Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''=(1+f)u\). Donner un équivalent de \(u(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex1005] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), \(g\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+f(x)=-xg(x)f'(x)\). Montrer que \(f\) est bornée.
[planches/ex1005]
[planches/ex0929] polytechnique MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) intégrable. Étudier les solutions bornées de \(y''-(1+q)y=0\).
[planches/ex0929]
[oraux/ex4931] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2012 Soit \(a>4\). On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^0([0,1],\mathbf{R})\) de classe \({\cal C}^1\) sur \(]0,1]\), telles que \(f'^2\) soit intégrable sur \(]0,1]\) et vérifiant en outre \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) ; pour \(f\in E\), on pose \(\phi(f)=\displaystyle\int_0^1 \left(af'^2(t)-\frac{f(t)^2}{t^2}\right)\,dt\).
[oraux/ex4931]
On suppose que \(\phi\) réalise son minimum sur \(E\) en \(f\). Donner une équation différentielle qu’il est plausible que \(f\) vérifie, et en déduire une valeur plausible de \(f\).
Pour \(h\in E\), on pose \(g(t)=\displaystyle\frac{h(t)}{f(t)}\). Exprimer \(\phi(h)\) en fonction de \(g\), et en déduire que \(\phi\) réalise son minimum sur \(E\). Préciser en quels points.
[concours/ex5308] ens paris MP 2007
[concours/ex5308]
Soit \(x\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) convexe, minorée et décroissante. Étudier la limite de \(t\mapsto tx'(t)\) lorsque \(t\rightarrow+\infty\).
Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) et \(x\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+^*)\) décroissante telles que \(x''=qx\). Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}x=0\Leftrightarrow\displaystyle\int_0^{+\infty}tq(t)\,dt=+\infty\).
[equadiff/ex0156] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. Soit \(y_1\) une solution particulière de l’équation homogène associée \((E')\). On effectue le changement de fonction inconnue \(y=y_1z\). Reporter cette égalité dans \((E)\) et démontrer que l’on obtient une équation du premier ordre par rapport à \(z'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).
[equadiff/ex0156]
Application : intégrer sur \(\mathscr{D}=\mathbf{R}_+^*\) l’équation : \[x^3y''+xy'-y=-e^{1/x},\] en remarquant que \(y_1:x\mapsto x\) est solution de l’équation homogène associée.
[concours/ex2392] mines M 1995 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2(t)\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(x''(t)+(1+f(t))x(t)=0\) est bornée.
[concours/ex2392]
[oraux/ex5092] polytechnique MP 2012 Soient \(E={\cal C}^2([0,1],\mathbf{R})\) et \(Q:u\in E\mapsto\displaystyle\int_0^1 e^x\left( u(x)^2+u'(x)^2\right)\,dx\).
[oraux/ex5092]
Soient \(u,v\in E\) et \(\Phi_{u,v}:t\in\mathbf{R}\mapsto Q(u+tv)\). À quelle condition \(\Phi_{u,v}\) admet-elle un minimum en \(t_0\) ?
On fixe \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}\) et on note \(L=\left\{ u\in E,\; u(0)=a\mbox{ et }u(1)=b\right\}\). La restriction de \(Q\) à \(L\) présente-t-elle un minimum ? Si oui, est-il unique ?
[planches/ex0989] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soient \(a>0\) et \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f'=a\). On considère \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-\displaystyle{f'\over f}y'-{y\over f^2}=0\).
[planches/ex0989]
Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Montrer que \(u(x)\rightarrow0\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2974] mines PSI 2008 Soient \(p\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) : \(y''+py=0\). Soit \(f\) une solution de \((E)\).
[oraux/ex2974]
On suppose : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x)>0\). Montrer que \(f\) est non bornée.
On suppose qu’il existe un unique \(a\in\mathbf{R}\) tel que \(f(a)=0\). Montrer que \(f\) est non bornée.
On suppose que \(f\) est bornée. Montrer que \(f\) est identiquement nulle.
[oraux/ex3147] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(y\) une solution de \(y''(x)=xy(x)\) sur \([0,1]\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer : \(\forall x\in[0,1]\), \(|y'(x)|+|y(x)|\leqslant e^x\).
[oraux/ex3147]
[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).
[planches/ex1636]
Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).
Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).
Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?
Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?
[planches/ex0956] centrale MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{C})\) \(\pi\)-périodique. Pour \(\omega\in\mathbf{R}\), on considère l’équation différentielle \((E_\omega)\) : \(x''+(\omega^2-q)x=0\) et on note \(S(\omega)\) l’ensemble de ses solutions.
[planches/ex0956]
Établir l’existence de \(x_1\) et \(x_2\) dans \(S(\omega)\) telles que : \[(x_1(0),x'_1(0))=(1,0)\quad\hbox{et}\quad(x_2(0),x'_2(0))=(0,1).\] Montrer que \((x_1,x_2)\) est libre.
Calculer le wronskien de \((x_1,x_2)\).
Soit \(T\) qui à \(x\in S(\omega)\) associe \(T(x):t\mapsto x(t+\pi)\). Montrer que \(T\) est un automorphisme de \(S(\omega)\). Donner la matrice de \(T\) dans la base \((x_1,x_2)\).
On pose \(\Delta=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(T)/2\). Montrer que \(\chi_T=X^2-2\Delta X+1\).
Si \(|\Delta|>1\), montrer que \((E_\omega)\) possède des solutions non bornées. Si \(|\Delta|<1\), montrer que les solutions de \((E_\omega)\) sont bornées.
Montrer que : \[\begin{aligned} x_1(t)&=&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega t)+\int_0^tx_1(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du,\cr x_2(t)&=&{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega t)\over t}+\int_0^tx_2(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du. \end{aligned}\] On fait désormais varier \(\omega\).
Montrer que, lorsque \(\omega\rightarrow+\infty\), \(\Delta_\omega=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega\pi)+O(1/\omega)\).
On appelle intervalle de divergence tout intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\) tel que : \(\forall\omega\in I\), \(|\Delta_\omega|>1\).
Soit \(\varepsilon>0\). Établir l’existence de \(X\in\mathbf{R}_+\) tel que, pour tout intervalle de divergence \(I\subset\left[X,+\infty\right[\), il existe un entier \(n\) tel que \(I\subset[n-\varepsilon,n+\varepsilon]\).
[planches/ex7169] centrale MP 2021 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\alpha>0\).
[planches/ex7169]
Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \(u''-\displaystyle{f'\over f}u'-{u\over f^2}=0\). On pose \(h=\displaystyle{u'\over f}\).
Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).
Montrer que \(u^2\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\).
Montrer que \(\ell=0\).
[oraux/ex4962] ens PC 2012 Soit \(a\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((A,B)\in\mathbf{R}\) tels que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(0<A\leqslant a(x)\leqslant B\).
[oraux/ex4962]
Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?
Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=-a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?
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