Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2884] centrale MP 2005

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation \(ay''+by'+cy=0\) admet-elle deux solutions \(y_1\) et \(y_1\) vérifiant \(y_1y_2=1\) ?

2. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((x-1)y''(x)+xy'(x)-4y(x)=0\). Montrer que la condition précédente est réalisée. Étudier les solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex1038] ens MP 2014 Soient \(k\in\mathbf{N}\) et l’équation différentielle \((1-t^2)x''-2tx'+k(k+1)x=0\).

1. Montrer que cette équation admet une solution \(x_k\) non nulle, sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que toute solution de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \([-1,1]\) est proportionnelle à \(x_k\).

[planches/ex1022] centrale MP 2014 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) non vide et non réduit à un point, \(p\), \(q:I\rightarrow\mathbf{R}\) continues et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). On suppose \(q\neq0\). On étudie l’existence de deux solutions, notées \(y_1\) et \(y_2\) de \((E)\), inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire que \(y_1y_2=1\).

1. Si \(p\) et \(q\) sont constantes, donner une condition suffisante d’existence.

2. On considère \((E_1)\) : \(y''+\displaystyle{y'\over x}-{y\over4x^2}=0\) sur \(\left]1,+\infty\right[\) et \((E_2)\) : \(y''-\displaystyle{y'\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}-y{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)^2\over4}=0\) sur \(\mathbf{R}_+^*\). Trouver pour \((E_1)\) puis pour \((E_2)\) un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

   On revient à l’équation générale \((E)\) et on suppose qu’elle admet un couple de solutions inverses l’une de l’autre \((y_1,y_2)\). On note \(W\) le wronskien de \((y_1,y_2)\).

3. Montrer que \(y_1\) et \(y_2\) sont linéairement indépendantes. Qu’en déduit-on pour \(W\) ?

4. Exprimer \(W\) en fonction de \(y_1\).

5. Montrer que \(W'+pW=0\).

6. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((p,q)\) pour que \((E)\) possède un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

[concours/ex2465] ens lyon M 1995 Soient \(f\) et \(g\) deux applications continues et bornées de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x''+f(t)x'+g(t)x=0\) et les conditions initiales \((CI)\) : \(x(0)=\alpha\), \(x'(0)=\beta\).

1. Montrer qu’il existe une unique fonction \(u\) définie sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((E)\) et \((CI)\).

   Montrer que l’espace \(\mathscr{S}\) des solutions de \((E)\) définies sur \(\mathbf{R}\) est de dimension \(2\).

2. Soient \(x_1\) et \(x_2\) dans \(\mathscr{S}\). On pose \(w(t)=x_1(t)x'_2(t)-x_2(t)x'_1(t)\). Montrer que \(w\) est la fonction nulle ou ne s’annule jamais.

3. Soit \((x_1,x_2)\) une base de \(\mathscr{S}\) \(t_1<t_2\) deux zéros consécutifs de \(x_1\). Montrer qu’il existe un unique zéro de \(x_2\) sur \(\left]t_1,t_2\right[\).

4. On suppose \(f=0\) et \(g\leqslant 0\). Montrer qu’un élément de \(\mathscr{S}\) s’annule au plus une fois.

[planches/ex1054] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) et \(\varphi\) une solution non nulle de l’équation différentielle \(\varphi''+q(x)\varphi=0\). Montrer que \(\varphi\) ne s’annule qu’un nombre fini de fois dans \([0,1]\).

[planches/ex1060] centrale MP 2015 On considère l’équation différentielle \[(E_1)\ :\quad x''+p(t)x'+q(t)x=0.\]

1. Soient \(u_1\) et \(u_2\) deux solutions de \((E_1)\) telles que \(u_1u_2=1\). On pose \(z_i=\displaystyle{u'_i\over u_i}\). Montrer que les \(z_i\) sont deux solutions opposées d’une équation différentielle non linéaire \((E_2)\).

2. En déduire une condition néessaire et suffisante sur \(p\) et \(q\) pour que \((E_1)\) admette deux solutions \(u_1\) et \(u_2\) telles que \(u_1u_2=1\).

3. Résoudre \((1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4t))x''-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(4t)x'-8x=0\).

[planches/ex1053] polytechnique, espci PC 2015 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour qu’il existe \(f\) et \(g\) solutions de \((E)\) telles que \(fg=1\).

[oraux/ex4921] ens paris MP 2012 Soit \(f \in{\cal C}^0(\mathbf{R}^+ ,\mathbf{R})\) telle que \(1-f\) soit intégrable. Montrer que pour tout \((\alpha_1,\alpha_2)\in \mathbf{C}^2\), il existe une solution \(x\) de l’équation différentielle \(x''+f(t)\,x=0\) telle que la fonction \(t \mapsto x(t)-\alpha_1 e^{it}-\alpha_2 e^{-it}\) ait une limite nulle en \(+\infty\).

[concours/ex2124] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 Soient \(f\) et \(g\) solutions réelles non nulles de \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\), \(a\) et \(b\) étant des fonctions réelles continues. Montrer qu’entre deux zéros de \(f\) il y a exactement un zéro de \(g\).

[planches/ex5561] ccinp MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \(y\) une fonction non identiquement nulle sur \(\mathbf{R}_+\) telle que \(y''+qy=0\). Montrer que les zéros de \(y\) sont isolés. En déduire que, si \(S\) est un segment de \(\mathbf{R}\), \(y\) n’a qu’un nombre fini de zéros sur \(S\).