Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2850] ens cachan MP 2005 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, positive, de période \(\pi\) et non nulle. Soit \(\mathscr{E}\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).

1. Soit \(\varphi\in\mathscr{E}\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(\varphi\) n’est ni majoré ni minoré.

2. On suppose \(\varphi\) non nulle ; Soit \(\psi\in\mathscr{E}\) non proportionnelle à \(\varphi\). Montrer que les zéros de \(\psi\) séparent ceux de \(\varphi\).

[oraux/ex3119] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle ouvert non vide de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_+)\) et \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Soient \((E_1)\) : \(y''-a(x)y=0\) et \((E_2)\) : \(y''-a(x)y=b(x)\).

1. Soit \(y\) une solution de \((E_1)\). On suppose qu’il existe \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\) tel que \(y(x_1)=y(x_2)=0\). Calculer \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}y(x)^2a(x)\,dx\). Que dire de \(y\) ?

2. Soient \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\).

   1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E_2)\) telle que \(y_1(x_1)=0\) et \(y_1'(x_1)=1\).

   2. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_2\) de \((E_2)\) telle que \(y_2(x_1)=y_2(x_2)=0\).

[planches/ex2137] mines MP 2017 Soient \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(y\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\) telle que \(y''-qy=f\) et \((y(0),y(1))=(a,b)\).

[concours/ex2393] mines M 1995 Soient \(f\) et \(g\) continues de \([a,b]\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbf{R}_-\). Montrer que l’équation différentielle \(y''+f(x)y=g(x)\) possède une et une seule solution sur \([a,b]\) vérifiant \(y(a)=y(b)=0\).

[concours/ex0810] mines MP 1997 Soit l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-f(x)y=g(x)\) avec \(f\), \(g\in\mathscr{C}([a,b],\mathbf{R})\) et \(f\geqslant 0\).

1. Montrer qu’il existe au plus une solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\).

2. Montrer qu’il existe deux solutions \(u\) et \(v\) de \(y''-f(x)y=0\) vérifiant les conditions \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).

3. Montrer qu’il existe une unique solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\) et l’exprimer à l’aide de \(u\) et \(v\).

[oraux/ex3041] mines PC 2009 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(u\) et \(v\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\).

1. Montrer que les zéros de \(v\) sont isolés.

2. Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(v\), \(u\) s’annule exactement une fois.

[planches/ex1053] polytechnique, espci PC 2015 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour qu’il existe \(f\) et \(g\) solutions de \((E)\) telles que \(fg=1\).

[planches/ex3378] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Montrer qu’il existe deux solutions \(f\), \(g\) de \(E\) vérifiant \(fg=1\) si et seulement si \(b\) est de classe \(\mathscr{C}^1\), \(b\leqslant 0\) et \(b'=-2ab\).

[planches/ex4013] centrale PC 2018 (avec Python)

Soit \((E)\) : \(x''(t)+p(t)x'(t)+q(t)x(t)=0\).

1. On prend \(p(t)=\displaystyle{t\over1+t^2}\) et \(q(t)=\displaystyle{-1\over1+t^2}\). Ainsi \((E)\) devient \((1+t^2)x''+tx'-x=0\).

   1. Représenter sur \([0,5]\) les solutions \((f,g)\) de \((E)\) vérifiant \((f(0),f'(0))=(1,0)\) et \((g(0),g'(0))=(0,1)\).

   2. En déduire une solution évidente.

   3. Montrer que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0.

      On a \(g(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_nt^{2n}\). Trouver une relation de récurrence entre les \(c_n\) et en déduire \(g\).

   4. Montrer que \((E)\) possède deux solutions inverses l’une de l’autre.

2. On suppose maintenant que \((E)\) admet deux solutions \(u\) et \(v\) avec \(v=1/u\). Exprimer \(p\) et \(q\) en fonction de \(u\). En déduire une relation entre \(p\) et \(q\).

[planches/ex1038] ens MP 2014 Soient \(k\in\mathbf{N}\) et l’équation différentielle \((1-t^2)x''-2tx'+k(k+1)x=0\).

1. Montrer que cette équation admet une solution \(x_k\) non nulle, sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que toute solution de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \([-1,1]\) est proportionnelle à \(x_k\).