Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1714] polytechnique MP 1999 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, positive et \(y\) solution de \((E)\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).

1. Montrer que \(y^2\) est convexe. Peut-elle être bornée ?

2. On suppose que \(y\) n’est pas nulle. Montrer que \(y\) et \(y'\) s’annulent au plus une fois.

3. Montrer que \(\displaystyle{y^2(x)\over x}\) a une limite finie en \(+\infty\).

[concours/ex5791] mines PSI 2007 Soit \((E)\) : \(y''=a(x)y'+b(x)y\) où \(a\), \(b\) sont continues sur \(\mathbf{R}\). Montrer qu’il existe un système fondamental de solutions de \((E)\) formé d’une fonction paire et d’une fonction impaire si et seulement si \(a\) est impaire et \(b\) paire.

[oraux/ex3097] mines PC 2010 Soient \(a\), \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((f,g)\) un système fondamental de solutions de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\). On suppose \(f\) paire et \(g\) impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) est paire.

[planches/ex2138] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation différentielle \(y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0\) admet-elle une base formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire ?

[planches/ex1134] tpe PC 2016 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) centré en zéro, \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(I,\mathbf{R})\) une fonction paire et \((E)\) l’équation différentielle \(y''(x)+\varphi(x)y(x)=0\). Soit \(y\) une solution de \((E)\). Montrer que \(y\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et que la fonction \(x\mapsto y(-x)\) est également solution de \((E)\).

[planches/ex0928] polytechnique MP 2013 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et intégrable. Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+(1+q(t))y=0\) est bornée sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex1066] centrale PSI 2015 Soit \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}|a(x)|\,dx\) existe.

1. A-t-on nécessairement \(a(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?

2. Soit \(f\) vérifiant sur \(\mathbf{R}_+\) : \(y''(x)+(1+a(x))y(x)=0\). Soit \[g:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f(x)+\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)a(t)f(t)\,dt.\] Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}_+\), puis que \(g''+g=0\).

3. Montrer qu’il existe \(c\in\mathbf{R}_+\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|a(t)|\,|f(t)|\,dt\).

4. Montrer que toutes les solutions de \(y''+(1+a)y=0\) sont bornées.

[concours/ex3236] mines M 1993 Soit \(u\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) et \(f\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+\). On suppose qu’il existe une constante \(A\) telle que, pour tout \(x\) de \(\mathbf{R}_+\), \[u(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)u(t)\,dt.\] Montrer que \[u(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_0^xf(t)\,dt\right).\] Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+y(1+g(t))=0\), où \(g\) est une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\bigl|g(t)\bigr|\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(E\) est bornée.

[planches/ex1109] centrale MP 2016

1. Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_2\geqslant q_1\), \(u\) (resp. \(v\)) une solution non identiquement nulle de \(y_1''+q_1y=0\) (resp. \(y''+q_2y=0\)), \(a\) et \(b\) deux zéros consécutifs de \(u\). Montrer que soit \(v/u\) est constante sur \(\left]a,b\right[\), soit \(v\) s’annule sur \(\left]a,b\right[\).

2. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_-\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?

3. Soient \(c\) et \(d\) deux éléments de \(\mathbf{R}_+^*\) tels que \(c<d\), \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \([c^2,d^2]\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?

[planches/ex3691] mines PSI 2018 On considère l’équation différentielle \((E):y''+a(t)y'+b(t)y=0\) où \(a\) et \(b\) désignent des fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\).

1. Calculer pour deux solutions \(f\), \(g\) de \((E)\) la quantité \(W=fg'-f'g\).

2. On suppose \(a\) impaire et \(b\) paire. Montrer que la fonction \(f\) solution de \((E)\) avec les conditions initiales \(f(0)=1\) et \(f'(0)=1\) est paire. Montrer de même que la fonction \(g\) solution de \((E)\) avec les conditions initiales \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\) est impaire. En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de \((E)\) constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

3. On suppose qu’il existe une base de l’espace des solutions de \((E)\) constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) paire.