Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.

Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).

[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).

1. Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.

2. Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).

[planches/ex1110] centrale MP 2016 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((1-x)^3y''(x)=y(x)\).

1. Déterminer la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\). Montrer que toutes ces solutions sont de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]-\infty,1\right[\).

2. Soient \(y\) une solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) et, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \(a_n=\displaystyle{y^{(n)}(0)\over n\,!}\). Trouver une relation de récurrence satisfaite par \((a_n)_{n\geqslant 0}\).

3. Montrer que les solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) sont développables en série entière au voisinage de 0.

4. Soit \(y\) la solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) telle que \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Que dire de \(y(x)\) lorsque \(x\) tend vers 1 ?

[oraux/ex2799] mines 2003

1. Soit \((E)\) : \(y''+y=f(x)\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). Montrer que : \[g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,dt\] est une solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\).

2. Soit \(\sigma>0\). On cherche une solution du problème de Cauchy \((E')\) : \(y''+y=\sigma y^2\), \(y(0)=1/2\) et \(y'(0)=0\). Soit \(b>0\) tel que \(\sigma b<1/2\). Soit \((y_n)\) la suite définie par : \[y_0(x)={1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\quad\hbox{et}\quad\forall n\geqslant 1,\quad y_n''+y_n=\sigma y_{n-1},\ y_n(0)=y_n'(0)=0.\]

   1. Exprimer \(y_n\) à l’aide de \(y_{n-1}\) et d’une intégrale.

   2. Montrer : \(|y_n(x)-y_{n-1}(x)|\leqslant\displaystyle{1\over2}\,{(\sigma x)^n\over n\,!}\).

   3. Montrer que \((E')\) a une unique solution sur \([0,b]\).

[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).

1. Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).

[planches/ex2502] centrale MP 2017 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\). On considère l’équation différentielle \((\mathscr{E})\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).

Pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(y_\alpha\) l’unique solution de \((\mathscr{E})\) vérifiant \(y_\alpha(0)=1\) et \(y_\alpha'(0)=\alpha\).

1. Montrer que \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_0(x)y_0'(x)>0\). Montrer que \(y_0\) est strictement croissante.

2. Montrer que \(\forall\alpha\in\mathbf{R}\), \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_\alpha(x)=y_0(x)\left(\displaystyle\int_0^x{\alpha\over y_0^2(t)}\,dt\right)\).

3. Montrer qu’il existe \(\alpha_1<0\) tel que l’on ait, pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), l’équivalence entre « \(y_\alpha\) s’annule sur \(\mathbf{R}_+\) » et « \(\alpha<\alpha_1\) ». Calculer \(\alpha_1\).

[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]

[oraux/ex3147] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(y\) une solution de \(y''(x)=xy(x)\) sur \([0,1]\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer : \(\forall x\in[0,1]\), \(|y'(x)|+|y(x)|\leqslant e^x\).

[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).

[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).

1. Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).

2. Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).

3. Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?

4. Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?