Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).

[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.

1. Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).

2. Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).

3. Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).

[planches/ex0989] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soient \(a>0\) et \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f'=a\). On considère \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-\displaystyle{f'\over f}y'-{y\over f^2}=0\).

1. Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

2. Montrer que \(u(x)\rightarrow0\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex3147] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(y\) une solution de \(y''(x)=xy(x)\) sur \([0,1]\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer : \(\forall x\in[0,1]\), \(|y'(x)|+|y(x)|\leqslant e^x\).

[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]

[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).

[concours/ex1374] ens cachan MP 1998 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathbf{R}^2\) euclidien, et \[E=\{u\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R}^2)\mid u(0)=A,\ u(1)=B\}.\] Soit \(n\) une application de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), de classe \(C^2\). Pour \(u\in E\), on pose \(F(u)=\displaystyle\int_0^1n(u(t))\|u'(t)\|^2\,dt\). On suppose qu’il existe \(u_0\in E\) tel que \(F(u_0)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits_{u\in E}F(u)\). Montrer que \(u_0\) est de classe \(C^2\) et trouver une équation différentielle vérifiée par \(u_0\).

[oraux/ex2894] centrale MP 2005 Soit \(q\) une fonction continue et positive définie sur \(\mathbf{R}\). On note \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-qy=0\).

1. Montrer qu’une solution non nulle de \((E)\) ne s’annule qu’au plus une fois.

   Désormais \(q(t)=e^t\). Montrer que les solutions de \((E)\) sont développables en série entière.

2. Donner l’allure des solutions \(f\) et \(g\) de \(y''-e^ty=0\) vérifiant les conditions initiales \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).

[planches/ex2502] centrale MP 2017 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\). On considère l’équation différentielle \((\mathscr{E})\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).

Pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(y_\alpha\) l’unique solution de \((\mathscr{E})\) vérifiant \(y_\alpha(0)=1\) et \(y_\alpha'(0)=\alpha\).

1. Montrer que \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_0(x)y_0'(x)>0\). Montrer que \(y_0\) est strictement croissante.

2. Montrer que \(\forall\alpha\in\mathbf{R}\), \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_\alpha(x)=y_0(x)\left(\displaystyle\int_0^x{\alpha\over y_0^2(t)}\,dt\right)\).

3. Montrer qu’il existe \(\alpha_1<0\) tel que l’on ait, pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), l’équivalence entre « \(y_\alpha\) s’annule sur \(\mathbf{R}_+\) » et « \(\alpha<\alpha_1\) ». Calculer \(\alpha_1\).

[planches/ex0957] centrale MP 2013 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}_+)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''=q(x)y\).

1. Soit \(f\) une solution de \((E)\) telle que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\). Montrer que \(f\) et \(f'\) sont strictement positives et que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\).

2. Soient \(u\) et \(v\) les solutions de \((E)\) telles que \(u(a)=1\), \(u'(a)=0\), \(v(a)=0\), \(v'(a)=1\). Calculer \(u'v-uv'\). Montrer que, sur \(\left]a,+\infty\right[\), \(u/v\) et \(u'/v'\) sont monotones de monotonies opposées. Montrer que \(u/v\) et \(u'/v'\) tendent en \(+\infty\) vers la même limite réelle.

3. Montrer qu’il existe une unique solution \(g\) de \((E)\), strictement positive, telle que \(g(a)=1\) et telle que \(g\) décroisse sur \(\left[a,+\infty\right[\).

4. Déterminer \(g\) lorsque \(q(x)=\displaystyle{1\over x^4}\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). On pourra poser \(y(x)=xz(1/x)\).