Édition de feuilles d'exercices

[equadiff/ex0881] Soit \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\) une équation différentielle linéaire du deuxième ordre homogène à coefficients non forcément constants, de classe \(C^1\) sur l’intervalle \(I\).

1. Écrire l’équation \((E')\) transformé de \((E)\) en posant \(y=uz\).

2. Déterminer une équation différentielle simple que doit vérifier la fonction \(u\) de sorte de \((E')\) ne contienne plus de terme en \(z'\), et résoudre cette équation en \(u\).

3. Montrer que \((E')\) peut se mettre sous la forme : \(z''=cz\), et exprimer la fonction \(c\) en fonction de \(a\) et \(b\).

4. Déterminer \(u\) et \(c\) quand \(a\) et \(b\) sont constants.

[oraux/ex3133] ens lyon MP 2011 Soit \(\varphi\) une solution maximale non identiquement nulle de \(y''+e^xy=0\).

1. Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’on peut ranger l’ensemble des zéros de \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}_+\) en une suite strictement croissante \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

3. Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow0\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

4. Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

[planches/ex3377] polytechnique, espci PC 2018 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(q>0\), \(q'>0\). Montrer que les solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).

[oraux/ex3051] centrale MP 2009 (avec Maple)

Soient \((E)\) : \((1-x)^3y''=y\) et \(y\) l’unique solution de \((E)\) définie sur \(I=\left]-\infty,1\right[\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\).

1. Justifier l’existence de \(y\) ; tracer le graphe de \(y\) à l’aide de la fonction odeplot du package plots.

2. On pose \(a_n=y^{(n)}(0)/n\,!\). Établir que \((a_n)\) vérifie une relation de récurrence liant \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(a_{n-1}\) et \(a_{n-3}\).

3. calculer \(a_n\) pour \(n\in\{0,\ldots,10\}\).

4. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(|a_n|\leqslant\alpha^n\). Qu’en déduire sur \(y\) ?

5. Montrer que \(y\) est positive sur \(\left[0,1\right[\).

6. En déduire que \(y(x)\geqslant x+\displaystyle\int_0^x{x-t\over(1-t)^2}\,dt\).

7. Calculer cette intégrale avec Maple. Qu’en déduire sur le comportement de \(y\) ?

[planches/ex0956] centrale MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{C})\) \(\pi\)-périodique. Pour \(\omega\in\mathbf{R}\), on considère l’équation différentielle \((E_\omega)\) : \(x''+(\omega^2-q)x=0\) et on note \(S(\omega)\) l’ensemble de ses solutions.

1. Établir l’existence de \(x_1\) et \(x_2\) dans \(S(\omega)\) telles que : \[(x_1(0),x'_1(0))=(1,0)\quad\hbox{et}\quad(x_2(0),x'_2(0))=(0,1).\] Montrer que \((x_1,x_2)\) est libre.

2. Calculer le wronskien de \((x_1,x_2)\).

3. Soit \(T\) qui à \(x\in S(\omega)\) associe \(T(x):t\mapsto x(t+\pi)\). Montrer que \(T\) est un automorphisme de \(S(\omega)\). Donner la matrice de \(T\) dans la base \((x_1,x_2)\).

4. On pose \(\Delta=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(T)/2\). Montrer que \(\chi_T=X^2-2\Delta X+1\).

5. Si \(|\Delta|>1\), montrer que \((E_\omega)\) possède des solutions non bornées. Si \(|\Delta|<1\), montrer que les solutions de \((E_\omega)\) sont bornées.

6. Montrer que : \[\begin{aligned} x_1(t)&=&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega t)+\int_0^tx_1(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du,\cr x_2(t)&=&{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega t)\over t}+\int_0^tx_2(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du. \end{aligned}\] On fait désormais varier \(\omega\).

7. Montrer que, lorsque \(\omega\rightarrow+\infty\), \(\Delta_\omega=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega\pi)+O(1/\omega)\).

   On appelle intervalle de divergence tout intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\) tel que : \(\forall\omega\in I\), \(|\Delta_\omega|>1\).

8. Soit \(\varepsilon>0\). Établir l’existence de \(X\in\mathbf{R}_+\) tel que, pour tout intervalle de divergence \(I\subset\left[X,+\infty\right[\), il existe un entier \(n\) tel que \(I\subset[n-\varepsilon,n+\varepsilon]\).

[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).

1. Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).

2. Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).

3. Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?

4. Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?

[planches/ex6022] polytechnique PC 2020 Soit \(f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable, positive, décroissante et non intégrable sur \(\left[0,+\infty\right[\).

Soit \(y:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), non identiquement nulle et vérifiant \(y''+fy=0\).

1. Est-il possible d’avoir \(y\geqslant 0\) ? On pourra considérer \(E=fy^2+(y')^2\).

2. Soit \(t_0>0\) tel que \(y(t_0)=0\). Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(\forall t\in[t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon]\setminus\{t_0\}\), \(y(t)\neq 0\).

3. Déduire de la première question que \(y\) s’annule. Montrer que \(y\) admet une infinité de zéros. Comment interpréter le résultat d’un point de vue physique ?

[oraux/ex4962] ens PC 2012 Soit \(a\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((A,B)\in\mathbf{R}\) tels que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(0<A\leqslant a(x)\leqslant B\).

1. Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?

2. Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=-a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?

[concours/ex4170] mines M 1990 Soit \(f\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de : \[y''+e^{-t^2}y=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t.\] On suppose \(f\) bornée et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2\) convergente. Montrer que \(f'\) est bornée, puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{t\rightarrow+\infty}f(t)=0\).