Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1115] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \(y''=x^4y\) (?).

1. Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. On admet que \(1/f^2\) est définie et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(g:x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f(t)^2}\) est aussi solution de l’équation étudiée.

3. Montrer le résultat admis dans la question précédente.

[oraux/ex3153] mines MP 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''=(x^4+1)y\).

1. Montrer que cette équation possède une unique solution \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. Montrer que \(g=f^2\) est convexe.

3. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/g\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

5. Montrer que \(x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over g(t)}\) est également solution de \((E)\).

[planches/ex8628] centrale PSI 2022 (avec Python)

Soit \(q:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}\) continue. On s’intéresse à l’équation différentielle \((E_{a,b})\) : \(y''+(1+q)y=0\), \(y(0)=a\), et \(y'(0)=b\).

1. Tracer avec Python les solutions pour \((a,b)\in\{(1,0),(0,1)\}\) et pour les fonctions \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over\sqrt{1+t}}\), \(q:t\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over t}\right)\), \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over1+t^2}\). et \(q:t\longmapsto\displaystyle{-t^2\over2(1+t^2)}\). On tracera ces solutions sur l’intervalle \([0,50]\).

   Pour quelles fonctions \(q\) la solution semble-t-elle bornée ?

2. On suppose dans cette question que \(q\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(z:x\longmapsto\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)f(t)\,dt\) avec \(f\) continue, intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(z''+z\).

3. Soit \(y\) une solution de \((E_{a,b})\).

   Montrer que, pour \(t\in\mathbf{R}_+\), \(0\leqslant|y(t)|\leqslant|a|+|b|+\displaystyle\int_0^x|q(t)|\,|y(t)|\,dt\).

   En déduire que \(y\) est bornée.

4. La condition \(q\) intégrable est-elle suffisante/nécessaire pour que les solutions de \((E_{a,b})\) soient bornées ?

[oraux/ex2970] mines PSI 2008 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(p\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) et \(k\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que la seule solution de l’équation différentielle \(y''+p(x)y'-ky=0\) satisfaisant la condition \(y(a)=y(b)=0\) est la solution nulle.

[oraux/ex5392] mines MP 2012 Soit \(f\,:\;\mathbf{R}^{+*}\to\mathbf{R}\) continue. On considère l’équation différentielle \((E)\) \(y''=f\,y\).

1. Montrer que les zéros des solutions non nulles sont isolés.

2. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \((E)\). Montrer : \[\int_\alpha^\beta\left|f(t)\right|\,dt>\frac4{\beta-\alpha}.\]

[planches/ex1074] tpe PSI 2015 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\Phi:E\rightarrow E\) qui à \(f\) associe \(g\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(g(x)=f'(x)-xf(x)\). Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\), puis \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\mathbin{\circ}\Phi\).

[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.

[oraux/ex3012] polytechnique MP 2009 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\) et \(f\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \(u\) dans \(\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que : \(u''+fu=0\) et \(u(a)=u(b)=0\). Montrer : \(\displaystyle\int_a^b|f(t)|\,dt\geqslant(b-a)/4\).

[planches/ex1018] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+a(x)y=0\).

1. Montrer que les wronskiens relatifs à \((E)\) vérifient une équation différentielle du premier ordre.

2. Soit \(T>0\). Montrer que les trois énoncés suivants sont équivalents :

   1. \((E)\) possède un wronskien \(T\)-périodique ;

   2. tous les wronskiens de \((E)\) sont périodiques ;

   3. la fonction \(a\) est \(T\)-périodique de valeur moyenne nulle.

[concours/ex5477] polytechnique MP 2007 Soient \(f\in\mathscr{C}^1(\left]0,+\infty\right[,\mathbf{R})\) et \(g\) une solution de \((E)\) : \(y''+fy=0\), non identiquement nulle.

1. Montrer que les zéros de \(g\) sont isolés. Dans la suite, \(x_1\) et \(x_2\) sont deux zéros consécutifs de \(g\) vérifiant \(x_1<x_2\).

2. Montrer, si \(x\in[x_1,x_2]\) : \[\hskip-1cm(x_2-x)\int_{x_1}^x(t-x_1)f(t)g(t)\,dt+ (x-x_1)\int_x^{x_2}(x_2-t)f(t)g(t)\,dt =(x_2-x_1)g(x).\]

3. En déduire une minoration de \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}|f(t)|\,dt\).