[planches/ex1090] ens PC 2016 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(k\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\) tels que, pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|f(x)|\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-kx)\).
[planches/ex1090]
Existe-t-il \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''-u=f\) et \(u(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?
Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''=(1+f)u\). Donner un équivalent de \(u(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex7169] centrale MP 2021 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\alpha>0\).
[planches/ex7169]
Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \(u''-\displaystyle{f'\over f}u'-{u\over f^2}=0\). On pose \(h=\displaystyle{u'\over f}\).
Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).
Montrer que \(u^2\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\).
Montrer que \(\ell=0\).
[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).
[planches/ex7887]
Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).
[planches/ex0965] centrale PSI 2013 Soit \(F\) l’espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur \(\left]0,+\infty\right[\). Pour \(f\in F\), on considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x^2y''+2y'-2y=f(x)\).
[planches/ex0965]
Trouver les fonctions \(x\mapsto x^r\) solutions de l’équation homogène associée à \((E)\).
Soit \(g(x)=\displaystyle\int_0^x{-tf(t)\over3x^2}\,dt+\int_x^{+\infty}{-xf(t)\over3t^2}\,dt\). Montrer que \(g\) est bien définie sur \(\left]0,+\infty\right[\) puis vérifier que \(g\) est solution de \((E)\).
Quel est le lien entre les deux questions précédentes ?
Montrer que l’application qui envoie \(f\) sur \(g\) définit un endomorphisme de \(F\).
[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).
[planches/ex1636]
Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).
Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).
Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?
Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?
[concours/ex4170] mines M 1990 Soit \(f\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de : \[y''+e^{-t^2}y=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t.\] On suppose \(f\) bornée et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2\) convergente. Montrer que \(f'\) est bornée, puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{t\rightarrow+\infty}f(t)=0\).
[concours/ex4170]
[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.
[planches/ex0923]
Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).
[examen/ex2791] ens paris MP 2025 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\psi\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R}^{+*})\) croissante. Soit \(y\in\mathscr{C}^2([a,b], \mathbf{R})\) non nulle et vérifiant \(y''+\psi(x)y=0\). Montrer que les points où \(|y|\) admet un extremum local forment une suite finie \((a_1,\ldots,a_n)\) (éventuellement vide) et que la suite des valeurs \((|y(a_1)|,\ldots,|y(a_n)|)\) est décroissante.
[examen/ex2791]
[planches/ex9269] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(I\) un intervalle non trivial de \(\mathbf{R}\), et \(a\), \(b\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex9269]
On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0\).
Soit \(x\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(x\) sont isolés.
On suppose \(a\) de classe \(\mathscr{C}^1\). Montrer qu’il existe \(z\) de classe \(\mathscr{C}^2\) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\), et \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue telles que \(x \mapsto [t \mapsto x(t)\,e^{z(t)}]\) définisse une bijection de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur celui des solutions de \(y''+q(t)\,y=0\).
Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1 \leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i \in \{1,2\}\). Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs de \(y_1\).
Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue, et \(m,M\) deux réels strictement positifs tels que \(m \leqslant q \leqslant M\).
Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \(y''+q(t)y=0\). Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}} \leqslant\beta-\alpha \leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\).
[oraux/ex4930] ens lyon MP 2012 On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^1([-1,1],\mathbf{R})\) vérifiant \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=1\). On considère \(J : f \in E \mapsto \displaystyle\int_{-1}^1 \left(x\, f'(x)\right)^2\,dx\). La fonction \(J\) possède-t-elle un minimum ?
[oraux/ex4930]
[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).
[planches/ex1079]
Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.
Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).
[oraux/ex3113] centrale PSI 2010 Soit \(u\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) telle que : \(u''(x)+e^xu'(x)=-1\), \(u(0)=u(1)=0\).
[oraux/ex3113]
Montrer que \(u\) n’admet pas de minimum local sur \(\left]0,1\right[\).
Montrer que \(u'(0)>0\) et \(u'(1)<0\).
Montrer que \(u\) existe et est unique. Exprimer \(u\) à l’aide d’intégrales.
[examen/ex2795] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2025 On fixe un intervalle non trivial \(I\).
[examen/ex2795]
Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\). Soit \(f\) une solution non nulle sur \(I\) de \(y''+a y'+b y=0\). Montrer que les zéros de \(f\) sont isolés : pour tout zéro \(t_0\) de \(f\) il existe un \(\delta>0\) tel que \(f\) n’ait pas de zéro dans \(\left]t_0-\delta,t_0+\delta\right[\setminus\{t_0\}\).
Soient \(p_1\), \(p_2\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall t\in I\), \(p_1(t)\geqslant p_2(t)\). Soient \(f\), \(g\in\mathscr{C}^2(I,\mathbf{R})\setminus\{0\}\) telles que \(f''+p_1f=0\) et \(g''+p_2g=0\). Soient \(t_1<t_2\) deux zéros de \(f\) entre lesquels \(f\) n’admet aucun autre zéro. Montrer qu’il existe un zéro de \(g\) dans \(\left[t_1,t_2\right[\), ainsi que dans \(\left]t_1,t_2\right]\).
Soient \(p\), \(q\) deux fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall t\in[0,1]\), \(q(t)>0\). Pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), on note \(f_\lambda\) la solution sur \([0,1]\) de l’équation différentielle \(y''+(p(t)+\lambda q(t))y=0\) avec la condition initiale \(f_\lambda(0)=0\) et \(f'_\lambda(0)=1\). On note \(N_\lambda\) le nombre de zéros de \(f_\lambda\). Montrer que \(\lambda\mapsto N_\lambda\) est croissante et déterminer ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).
On admet que \((x,\lambda)\in[0,1]\times\mathbf{R}\mapsto f_\lambda(x)\) est continue. Montrer que l’ensemble \(\{\lambda\in\mathbf{R},\ f_\lambda(1)=0\}\) est l’ensemble des termes d’une suite réelle strictement croissante.
Montrer que \((\lambda,x)\mapsto f_\lambda(x)\) est continue sur \(\mathbf{R}\times[0,1]\).
[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).
[oraux/ex3138]
Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).
Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).
[planches/ex6154] ens lyon MP 2021 Soit \(k\in\mathbf{R}\). Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) vérifiant \(y''=(x^3+kx)y\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est majoré et non minoré.
[planches/ex6154]
[planches/ex9268] ens saclay, ens rennes MP 2023 On considère l’équation différentielle \((D_{\lambda})\) : \(y'' + (\lambda-r)y =0\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(r \in\mathscr{C}^{\infty}(I, \mathbb{R})\), où \(I\) est un intervalle contenant \([0, 1]\).
[planches/ex9268]
On considère \(E_{\lambda}\) l’espaces des solutions \(y\) de \((D_{\lambda})\) telles que \(y(0) = 0\), \(y(1) = 0\).
Quelles sont les dimensions possibles de \(E_{\lambda}\) ?
Caractériser le cas \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E_{\lambda}) = 1\). (On souhaite une condition portant sur \(y_{\lambda}\), solution du problème de Cauchy \((D_{\lambda})\), \(y_{\lambda}(0) = 0\), \(y_{\lambda}'(0) = 1\).)
Montrer que, à \(r\) fixé, les \(E_{\lambda}\) sont orthogonaux pour le produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{0}^{1} fg\).
On note \(N_\lambda\) le nombre de zéros de \(y_{\lambda}\) sur \([0, 1]\). Pourquoi est-il fini ?
Calculer \(N_{\lambda}\) dans le cas \(r = 0\), \(\lambda > 0\).
Dans le cas général, étudier le comportement de \(N_{\lambda}\).
[equadiff/ex0156] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. Soit \(y_1\) une solution particulière de l’équation homogène associée \((E')\). On effectue le changement de fonction inconnue \(y=y_1z\). Reporter cette égalité dans \((E)\) et démontrer que l’on obtient une équation du premier ordre par rapport à \(z'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).
[equadiff/ex0156]
Application : intégrer sur \(\mathscr{D}=\mathbf{R}_+^*\) l’équation : \[x^3y''+xy'-y=-e^{1/x},\] en remarquant que \(y_1:x\mapsto x\) est solution de l’équation homogène associée.
[oraux/ex3147] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(y\) une solution de \(y''(x)=xy(x)\) sur \([0,1]\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer : \(\forall x\in[0,1]\), \(|y'(x)|+|y(x)|\leqslant e^x\).
[oraux/ex3147]
[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).
[planches/ex9503]
Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).
Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).
Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).
[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).
[oraux/ex3140]
[oraux/ex4961] ens PC 2012 Soient \(a,b,c,d\) dans \({\cal C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\). On suppose : \(a>0\), \(c<0\) et \(d>0\). Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(ay''+by'+cy=d\), \(y(0)=0\).
[oraux/ex4961]
Si \(y'(0)=0\), montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}^{+*}\), \(y(t)>0\).
On suppose qu’il existe \(t_1>0\) tel que \(y(t_1)>0\). Montrer : \(\forall t\geqslant t_1\), \(y(t)\geqslant 0\).
[planches/ex0989] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soient \(a>0\) et \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f'=a\). On considère \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-\displaystyle{f'\over f}y'-{y\over f^2}=0\).
[planches/ex0989]
Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Montrer que \(u(x)\rightarrow0\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex4963] ens PC 2012 Soient \((E)\) : \(y''+(1+e^{-t}) y=0\) et \((F)\) : \(y''+y=0\). Soient \(f\) une solution non nulle de \((E)\) et \(g\) une solution non nulle de \((F)\).
[oraux/ex4963]
Montrer qu’entre deux zéros de \(g\) il y a au moins un zéro de \(f\).
Montrer que \(f\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}^+\). On note \((x_n)_{n\geqslant 0}\) la suite ordonnée des zéros de \(f\) sur \(\mathbf{R}^+\).
Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow \pi\).
Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow +\infty\).
[oraux/ex3002] ens paris MP 2009 Soit \(E\) l’ensemble des fonctions complexes de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}^2\), \(2\pi\)-périodiques par rapport à la première variable. On se donne une fonction complexe \(f_0\) de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}\) et \(2\pi\)-périodique.
[oraux/ex3002]
Trouver \(f\in E\) telle que : \(\displaystyle{\partial f\over\partial t}(x,t)=-i\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}(x,t)\) et \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x,0)=f_0(x)\).
Expliciter une constante \(C\) telle que : \[\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}|f(x,t)|^4\,dx\,dt\leqslant C\left(\int_0^{2\pi}|f_0(x)|^2\,dx\right)^{\!2}.\]
[planches/ex0956] centrale MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{C})\) \(\pi\)-périodique. Pour \(\omega\in\mathbf{R}\), on considère l’équation différentielle \((E_\omega)\) : \(x''+(\omega^2-q)x=0\) et on note \(S(\omega)\) l’ensemble de ses solutions.
[planches/ex0956]
Établir l’existence de \(x_1\) et \(x_2\) dans \(S(\omega)\) telles que : \[(x_1(0),x'_1(0))=(1,0)\quad\hbox{et}\quad(x_2(0),x'_2(0))=(0,1).\] Montrer que \((x_1,x_2)\) est libre.
Calculer le wronskien de \((x_1,x_2)\).
Soit \(T\) qui à \(x\in S(\omega)\) associe \(T(x):t\mapsto x(t+\pi)\). Montrer que \(T\) est un automorphisme de \(S(\omega)\). Donner la matrice de \(T\) dans la base \((x_1,x_2)\).
On pose \(\Delta=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(T)/2\). Montrer que \(\chi_T=X^2-2\Delta X+1\).
Si \(|\Delta|>1\), montrer que \((E_\omega)\) possède des solutions non bornées. Si \(|\Delta|<1\), montrer que les solutions de \((E_\omega)\) sont bornées.
Montrer que : \[\begin{aligned} x_1(t)&=&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega t)+\int_0^tx_1(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du,\cr x_2(t)&=&{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega t)\over t}+\int_0^tx_2(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du. \end{aligned}\] On fait désormais varier \(\omega\).
Montrer que, lorsque \(\omega\rightarrow+\infty\), \(\Delta_\omega=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega\pi)+O(1/\omega)\).
On appelle intervalle de divergence tout intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\) tel que : \(\forall\omega\in I\), \(|\Delta_\omega|>1\).
Soit \(\varepsilon>0\). Établir l’existence de \(X\in\mathbf{R}_+\) tel que, pour tout intervalle de divergence \(I\subset\left[X,+\infty\right[\), il existe un entier \(n\) tel que \(I\subset[n-\varepsilon,n+\varepsilon]\).
[planches/ex1597] ens PSI 2017 Si \(x\) est un nombre réel, on note \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) la partie fractionnaire de \(x\). Soient \(\theta\in\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}\) et \(f:\mathbf{N}\rightarrow\left[0,1\right[\), \(n\mapsto\{n\theta\}\).
[planches/ex1597]
Montrer que \(f\) est injective.
Montrer que : \(\forall\varepsilon>0\), \(\exists(m,n)\in\mathbf{N}^2\), \(m\neq n\) et \(0<f(m)-f(n)<\varepsilon\).
En déduire que \(\{x\in\mathbf{R},\ \exists(a,b)\in\mathbf{Z}^2,\ x=a+b\theta\}\) est dense dans \(\mathbf{R}\).
On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+2y'+2y=f\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) est non constante. On suppose que \((E)\) possède deux solutions périodiques \(y_1\) et \(y_2\) de périodes respectives \(T_1\) et \(T_2\). On se propose de montrer que \(y_1=y_2\).
Montrer que \(T_1/T_2\) est un nombre rationnel.
Montrer que la fonction \(y_2-y_1\) est bornée.
Montrer que \(y_2=y_1\).
[examen/ex1383] polytechnique MP 2024 Pour \(f\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\), on pose \(H(f):x\mapsto x^2f(x)-f''(x)\), \(A_-(f):x\mapsto -f'(x)+xf(x)\) et \(A_+(f):x\mapsto f'(x)+xf(x)\).
[examen/ex1383]
Déterminer \(A_-\circ A_+\) et \(A_+\circ A_-\).
Montrer qu’il existe une unique \(\varphi_0\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) de carré intégrable, telle que \(H(\varphi_0)=\varphi_0\) et \(\varphi_0(0)=1\).
On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\varphi_n=A_-^n(\varphi_0)\).
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(H(\varphi_n)=(2n+1)\varphi_n\).
Montrer que \(\varphi_n\) s’écrit sous la forme \(P_n\times\varphi_0\) avec \(P_n\) polynomiale.
[concours/ex2392] mines M 1995 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2(t)\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(x''(t)+(1+f(t))x(t)=0\) est bornée.
[concours/ex2392]
[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).
[concours/ex3550]
[concours/ex6304] ens cachan MP 2006
[concours/ex6304]
Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.
[oraux/ex3187] centrale PC 2011 (avec Maple)
[oraux/ex3187]
Maple
Soit, pour \(a\in\mathbf{R}\), \((E_a)\) : \((x-1)y''(x)-y'(x)+4a(x-1)^3y(x)=0\).
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour qu’il existe une solution non nulle de \((E_a)\) s’annulant en 0 et en 1. On note \((a_k)_{k\geqslant 0}\) la suite strictement croissante des réels ainsi trouvés.
Soit, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(\varphi_k:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt{a_k}x(x-2))\).
Si \((f,g)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})^2\), on pose \(\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_0^12(1-x)f(x)g(x)\,dx\). Montrer que cette application définit un produit scalaire sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\). Calculer \(\langle\varphi_k,\varphi_j\rangle\) pour \((j,k)\in\mathbf{N}^2\).
Soit \((b_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\). On suppose que la série de terme général \(b_n\) est absolument convergente. Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_k\varphi_k(x)\). Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}\). Exprimer les \(b_k\) à l’aide d’une intégrale faisant intervenir \(F\) et les \((\varphi_n)_{n\geqslant 0}\).
[planches/ex1080] ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(f\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(x''+f(t)x=0\) sur \([0,1]\).
[planches/ex1080]
Décrire la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\), rappeler le théorème de Cauchy linéaire, mettre le système différentiel associé à \((E)\) sous forme matricielle.
Montrer que si \(x\) est solution de \((E)\) et vérifie \(x(0)=x(1)=0\) alors \(x=0\).
Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que pour toute solution de \((E)\), on ait : \[\varepsilon^2\int_0^1x(t)^2\,dt\leqslant\varepsilon\int_0^1x'(t)^2\,dt\leqslant\int_0^1(1-t)x(t)^2\,dt.\]
[planches/ex0917] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2013 Soient \(\eta\) et \(\varphi\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), avec \(\eta\) à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-\eta y=\varphi\).
[planches/ex0917]
Montrer que \((E)\) admet au plus une solution 1-périodique.
On suppose \(\eta\) constante. Montrer que \((E)\) possède une solution 1-périodique.
Établir l’existence de \(\alpha>0\) tel que, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\) vérifiant \(0<|\lambda|<\alpha\), l’équation \(u''-\lambda\eta u=\varphi\) admette une solution 1-périodique.
Indication : On écrit \(\varphi=\lambda\varphi_1+\varphi_0\) avec \(\varphi_1\) constante et \(\displaystyle\int_0^1\varphi_0=0\). On cherche alors la solution \(u\) sous la forme \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\lambda^n(u_n+c_n)\) où \(c_n\) est constante de \(u_n\) est une fonction 1-périodique vérifiant \(u_n(0)=0\).
[planches/ex2502] centrale MP 2017 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\). On considère l’équation différentielle \((\mathscr{E})\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).
[planches/ex2502]
Pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(y_\alpha\) l’unique solution de \((\mathscr{E})\) vérifiant \(y_\alpha(0)=1\) et \(y_\alpha'(0)=\alpha\).
Montrer que \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_0(x)y_0'(x)>0\). Montrer que \(y_0\) est strictement croissante.
Montrer que \(\forall\alpha\in\mathbf{R}\), \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_\alpha(x)=y_0(x)\left(\displaystyle\int_0^x{\alpha\over y_0^2(t)}\,dt\right)\).
Montrer qu’il existe \(\alpha_1<0\) tel que l’on ait, pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), l’équivalence entre « \(y_\alpha\) s’annule sur \(\mathbf{R}_+\) » et « \(\alpha<\alpha_1\) ». Calculer \(\alpha_1\).
[oraux/ex3129] ens lyon MP 2011 Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de classe \(C^2\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \((f,g)\) soit libre. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’existent deux fonctions \(a\) et \(b\) continues et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que : \(f''+af'+bf=0\) et \(g''+ag'+bg=0\).
[oraux/ex3129]
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