[examen/ex0458] centrale MP 2023 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty([0,\pi],\mathbf{R})\) et \(F=\{f\in E,\ f(0)=f(\pi)=0\}\). Soient \(\varphi,q\in E\), la fonction \(q\) étant positive. On note \(\alpha\) une primitive de \(\varphi\). On pose \(D(y)=y''+\varphi y'-qy\) et \(L(y)=-e^\alpha D(y)\) pour tout \(y\in E\), et \(\langle y,z\rangle=\displaystyle\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,\mathrm{d}x\) pour tous \(y\), \(z\in F\).
[examen/ex0458]
Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Montrer que \(\langle\ ,\ \rangle\) est un produit scalaire sur \(F\).
Soit \(h\in E\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(f_0\in F\) telle que \(D(f_0)=h\).
[examen/ex1793] mines MP 2024 Soit \(f\) une fonction continue et bornée de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Déterminer les fonctions \(y\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), de classe \(\mathscr{C}^2\) et bornées, telles que \(y''-y=f\).
[examen/ex1793]
[oraux/ex2942] centrale PC 2006 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et, pour \(f\in E\), \(\mu(f)\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\mu(f)(x)=f'(x)-xf(x).\]
[oraux/ex2942]
Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(E\), déterminer son noyau.
L’application \(\mu\) est-elle surjective ?
Si \(g\in E\), déterminer \(\mu^{-1}(g)\).
Déterminer \(\mu\mathbin{\circ}\mu\).
Résoudre : \(y''-2xy'+(x^2-1)y=0\).
Si \(n\in\mathbf{N}^*\), résoudre \(\mu^{(n)}(f)=0\).
[planches/ex1104] mines MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(q(x)>0\) et \(q'(x)>0\). Montrer que les solutions de \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[planches/ex1104]
Indication : Multiplier par \(y'/q\).
[oraux/ex3142] polytechnique MP 2011 Soit \(a\) dans \(\left]0,\pi\right[\).
[oraux/ex3142]
Déterminer \(y\) de classe \(C^2\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \(y(0)=a\), \(y'(0)=0\), \(y''=-y\).
Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et bornée par \(a\) sur \(\mathbf{R}\).
Trouver \(C>0\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)-y(t)|\leqslant Ct^2\).
[oraux/ex3082] polytechnique MP 2010 Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non identiquement nulle de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+e^ty=0\). Montrer que \(f\) admet une infinité dénombrable de zéros.
[oraux/ex3082]
[oraux/ex3133] ens lyon MP 2011 Soit \(\varphi\) une solution maximale non identiquement nulle de \(y''+e^xy=0\).
[oraux/ex3133]
Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbf{R}\).
Montrer que l’on peut ranger l’ensemble des zéros de \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}_+\) en une suite strictement croissante \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\).
Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow0\) quand \(n\rightarrow+\infty\).
Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow+\infty\).
[planches/ex1009] mines MP 2014 Soit \((E)\) l’équation différentielle \[y''+e^xy=0.\]
[planches/ex1009]
Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
Les solutions de \((E)\) sont-elles toutes bornées sur \(\mathbf{R}\) ?
[planches/ex3377] polytechnique, espci PC 2018 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(q>0\), \(q'>0\). Montrer que les solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[planches/ex3377]
[equadiff/ex0157] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. On en cherche une solution sous la forme d’un produit de deux fonctions \(u\) et \(v\), i. e. \(y=uv\).
[equadiff/ex0157]
Déduire de cette égalité que \(u\) vérifie une équation différentielle : \[a_2u''+b_2u'+c_2u=f(x),\] dont les coefficients dépendent de \(x\) et de la fonction \(v\).
On choisit alors \(v\) pour pour que cette équation ne contienne pas \(u'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).
Application : résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[xy''+2y'-xy=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x,\] en remarquant qu’on peut prendre \(v(x)=\displaystyle{1\over x}\).
[planches/ex8133] mines MP 2022 Soit \(f:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On se donne \(c\geqslant 0\), on pose \(F:x\longmapsto c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\) et on suppose que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant F(x)\).
[planches/ex8133]
Étudier les variations de \(x\longmapsto\displaystyle{F(x)\over x}\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en déduire que \(f\) est bornée.
Soit \(g\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de l’équation différentielle \(y''+xy=0\). En s’intéressant à \(g^2\), montrer que \(g\) est bornée.
[concours/ex3679] mines M 1992 Montrer que toutes les solutions de \(y''+e^xy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[concours/ex3679]
[equadiff/ex0881] Soit \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\) une équation différentielle linéaire du deuxième ordre homogène à coefficients non forcément constants, de classe \(C^1\) sur l’intervalle \(I\).
[equadiff/ex0881]
Écrire l’équation \((E')\) transformé de \((E)\) en posant \(y=uz\).
Déterminer une équation différentielle simple que doit vérifier la fonction \(u\) de sorte de \((E')\) ne contienne plus de terme en \(z'\), et résoudre cette équation en \(u\).
Montrer que \((E')\) peut se mettre sous la forme : \(z''=cz\), et exprimer la fonction \(c\) en fonction de \(a\) et \(b\).
Déterminer \(u\) et \(c\) quand \(a\) et \(b\) sont constants.
[planches/ex0932] polytechnique MP 2013 Soient \(a\in\left]0,\pi\right[\) et \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)|\leqslant a\).
[planches/ex0932]
[planches/ex8462] mines PC 2022
[planches/ex8462]
Soit \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\). On suppose qu’il existe \(c\geqslant 0\) tel que, pour tout \(x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) solution de \(y''+xy=0\). Montrer que \(y\) est bornée.
[planches/ex1090] ens PC 2016 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(k\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\) tels que, pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|f(x)|\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-kx)\).
[planches/ex1090]
Existe-t-il \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''-u=f\) et \(u(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?
Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''=(1+f)u\). Donner un équivalent de \(u(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex4931] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2012 Soit \(a>4\). On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^0([0,1],\mathbf{R})\) de classe \({\cal C}^1\) sur \(]0,1]\), telles que \(f'^2\) soit intégrable sur \(]0,1]\) et vérifiant en outre \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) ; pour \(f\in E\), on pose \(\phi(f)=\displaystyle\int_0^1 \left(af'^2(t)-\frac{f(t)^2}{t^2}\right)\,dt\).
[oraux/ex4931]
On suppose que \(\phi\) réalise son minimum sur \(E\) en \(f\). Donner une équation différentielle qu’il est plausible que \(f\) vérifie, et en déduire une valeur plausible de \(f\).
Pour \(h\in E\), on pose \(g(t)=\displaystyle\frac{h(t)}{f(t)}\). Exprimer \(\phi(h)\) en fonction de \(g\), et en déduire que \(\phi\) réalise son minimum sur \(E\). Préciser en quels points.
[oraux/ex3174] centrale MP 2011 (avec Maple)
[oraux/ex3174]
Maple
Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose qu’il existe \(L>0\) tel que : \(\forall(x,y,t)\in\mathbf{R}^3\), \(|f(t,x)-f(t,y)|\leqslant L|x-y|\). On fixe \(a\), \(b\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(x\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on note \(T(x)\) la fonction définie par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad T(x)(t)=a+bt+\int_0^t(t-s)f(s,x(s))\,ds.\]
Vérifier que \(T(x)\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}\).
On suppose \(f(t,x)=(2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t-2)x\). On prend pour \(y\) la fonction nulle. Tracer, pour \(8\leqslant n\leqslant 12\), le graphe de \(T^n(y)\) sur \([-6,6]\).
Montrer que pour toute \(x\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) la suite \((T^n(x))\) converge uniformément sur tout segment de \(\mathbf{R}\) vers une fonction \(y\) telle que \(y(0)=a\), \(y'(0)=b\), \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y''(t)=f(t,y(t))\).
[concours/ex5308] ens paris MP 2007
[concours/ex5308]
Soit \(x\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) convexe, minorée et décroissante. Étudier la limite de \(t\mapsto tx'(t)\) lorsque \(t\rightarrow+\infty\).
Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) et \(x\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+^*)\) décroissante telles que \(x''=qx\). Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}x=0\Leftrightarrow\displaystyle\int_0^{+\infty}tq(t)\,dt=+\infty\).
[planches/ex9269] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(I\) un intervalle non trivial de \(\mathbf{R}\), et \(a\), \(b\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex9269]
On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0\).
Soit \(x\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(x\) sont isolés.
On suppose \(a\) de classe \(\mathscr{C}^1\). Montrer qu’il existe \(z\) de classe \(\mathscr{C}^2\) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\), et \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue telles que \(x \mapsto [t \mapsto x(t)\,e^{z(t)}]\) définisse une bijection de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur celui des solutions de \(y''+q(t)\,y=0\).
Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1 \leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i \in \{1,2\}\). Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs de \(y_1\).
Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue, et \(m,M\) deux réels strictement positifs tels que \(m \leqslant q \leqslant M\).
Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \(y''+q(t)y=0\). Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}} \leqslant\beta-\alpha \leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\).
[planches/ex0996] polytechnique MP 2014 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue telle que \(t\mapsto tq(t)\) soit intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \(y:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction deux fois dérivable telle que \(y''+qy=0\). Montrer successivement :
[planches/ex0996]
que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) est bornée au voisinage de \(+\infty\) ;
que \(y'\) a une limite finie en \(+\infty\) ;
que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) a une limite finie en \(+\infty\).
[oraux/ex3077] ens cachan MP 2010 Soient \(T\in\mathbf{R}_+^*\) et \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique. On pose \(a_0=\displaystyle{1\over T}\int_0^Ta(x)\,dx\). Pour \(\varepsilon>0\), soit \(a_\varepsilon:x\mapsto a(x/\varepsilon)\). Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R})\).
[oraux/ex3077]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0^+}\displaystyle\int_0^1a_\varepsilon(u)\varphi(u)\, du=a_0\displaystyle\int_0^1\varphi(u)\,du\).
On suppose désormais qu’il existe \(\alpha>0\) tel que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(a(x)\geqslant\alpha\). Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\).
Soit \(\varepsilon>0\). Montrer qu’il existe une unique \(u_\varepsilon\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) solution du problème \((a_\varepsilon u')'=f\) et \(u(0)=u(1)=0\).
Que dire de \(u_\varepsilon\) lorsque \(\varepsilon\rightarrow0^+\) ?
[oraux/ex2799] mines 2003
[oraux/ex2799]
Soit \((E)\) : \(y''+y=f(x)\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). Montrer que : \[g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,dt\] est une solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\).
Soit \(\sigma>0\). On cherche une solution du problème de Cauchy \((E')\) : \(y''+y=\sigma y^2\), \(y(0)=1/2\) et \(y'(0)=0\). Soit \(b>0\) tel que \(\sigma b<1/2\). Soit \((y_n)\) la suite définie par : \[y_0(x)={1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\quad\hbox{et}\quad\forall n\geqslant 1,\quad y_n''+y_n=\sigma y_{n-1},\ y_n(0)=y_n'(0)=0.\]
Exprimer \(y_n\) à l’aide de \(y_{n-1}\) et d’une intégrale.
Montrer : \(|y_n(x)-y_{n-1}(x)|\leqslant\displaystyle{1\over2}\,{(\sigma x)^n\over n\,!}\).
Montrer que \((E')\) a une unique solution sur \([0,b]\).
[planches/ex0957] centrale MP 2013 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}_+)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''=q(x)y\).
[planches/ex0957]
Soit \(f\) une solution de \((E)\) telle que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\). Montrer que \(f\) et \(f'\) sont strictement positives et que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\).
Soient \(u\) et \(v\) les solutions de \((E)\) telles que \(u(a)=1\), \(u'(a)=0\), \(v(a)=0\), \(v'(a)=1\). Calculer \(u'v-uv'\). Montrer que, sur \(\left]a,+\infty\right[\), \(u/v\) et \(u'/v'\) sont monotones de monotonies opposées. Montrer que \(u/v\) et \(u'/v'\) tendent en \(+\infty\) vers la même limite réelle.
Montrer qu’il existe une unique solution \(g\) de \((E)\), strictement positive, telle que \(g(a)=1\) et telle que \(g\) décroisse sur \(\left[a,+\infty\right[\).
Déterminer \(g\) lorsque \(q(x)=\displaystyle{1\over x^4}\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). On pourra poser \(y(x)=xz(1/x)\).
[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).
[concours/ex3550]
[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.
[oraux/ex2986]
Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).
Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).
Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).
[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).
[oraux/ex3138]
Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).
Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).
[concours/ex4044] polytechnique pox P 1990 Soit \(f(x)=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x}\).
[concours/ex4044]
Trouver une équation différentielle linéaire, d’ordre \(2\), à coefficients polynomiaux, satisfaite par \(f\).
Résoudre cette équation.
[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]
[planches/ex1100]
[examen/ex1382] polytechnique MP 2024
[examen/ex1382]
Soit \(f\in \mathscr{C}^1([0,\pi], \mathbf{R})\) telle que \(f(0)=f(\pi)=0\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^{\pi}f^2\leqslant\frac{\pi^2}{8}\int_0^{\pi}(f')^2\).
Soit \(f\), \(q\in \mathscr{C}^0([0,\pi], \mathbf{R})\) telle que \(\forall x\in[0,\pi]\), \(q(x)<\displaystyle\frac{8}{\pi^2}\). Soient \(a\), \(b\in \mathbf{R}\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(y\in \mathscr{C}^2([0,\pi], \mathbf{R})\) telle que \(y''+qy=f\), \(y(0)=a\), \(y(\pi)=b\).
[planches/ex9340] ens PSI 2023 Soient \(a>0\) et \(q \in\mathscr{C}^2(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}^{+*})\) telle que \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t = +\infty\).
[planches/ex9340]
Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\)
Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\) qui n’ont pas de zéros en commun. On pose \(\Phi = y_1 + iy_2\) et \(\Phi (a) = r_0e^{i\theta_0}\).
Montrer que \(\forall x \geqslant a\), \(\Phi (x) = e^{\Psi(x)}\) où \(\Psi(x)=\displaystyle\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \,{\rm d}t + \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (r_0) + i\theta_0\).
Montrer que l’on peut écrire \(y_1(x) =r(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta(x))\) et \(y_2(x) =r(x) \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta(x))\) où \(r(x) = \sqrt{y_1^2(x) + y_2^2(x)}\) et \(\theta (x) = \theta_0 +\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{y_1y'_2-y_2y'_1}{y_1^2+ y_2^2}\).
On pose \(x \mapsto f(x) =\displaystyle\int_a^{x} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\left[a,+\infty\right[\) sur \(\mathbf{R}^+\).
Soit \(y\) une solution de \((E)\), non identiquement nulle. On pose \(Y = y\mathbin{\circ} f^{-1}\). Montrer que \(Y'' +vY' +Y =0\) où \(v~: t \mapsto\displaystyle\frac{q'(f^{-1}(t))}{2 (q(f^{-1}(t)))^{3/2}}\).
Montrer que \(Y\) et \(Y'\) n’ont pas de zéro en commun et que l’on peut écrire \(Y = r \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits (\theta)\) et \(Y'= r \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta)\) où \(r\), \(\theta\) sont des fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\).
Montrer que \((r^2)' = -2v r^2 \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(\theta)\). En déduire que \(y\) et \(y'\) sont bornées.
[oraux/ex2981] centrale MP 2008 (avec Maple)
[oraux/ex2981]
Résoudre \(y''+\displaystyle{y\over x^2}=0\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) à l’aide de Maple. Existe-t-il des solutions bornées ?
Soit \((E)\) : \(y''+\displaystyle{y\over x^2+4x+3}=0\). On se donne une solution \(f\) bornée de \((E)\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). Montrer que \(f'\) admet une limite nulle en \(+\infty\). Existe-t-il des solutions non bornées sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?
[planches/ex9979] mines MP 2023
[planches/ex9979]
Soient \(A\in\mathbf{R}^+\), \(f\), \(g:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}^+\) continues. On suppose que : \[\forall x\geqslant 0,\quad f(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t.\] Montrer que \(\forall x\geqslant 0\), \(f(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_0^xg(t)\,\mathrm{d}t\right)\).
Soit \((*)\) l’équation différentielle \(x''(t)+a(t)x(t)=b(t)\) avec \(a\) et \(b\) continues sur \(\mathbf{R}^+\), \(b\) et \(t\mapsto t\,a(t)\) intégrables sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(x\) solution de \((*)\).
Montrer que : \[\forall t\geqslant 1,\quad x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)\,\mathrm{d}u+\int_1^t(t-u)\,b(u)\,\mathrm{d}u.\]
On pose, pour \(t\geqslant 1\), \(y(t)=\displaystyle\frac{|x(t)|}{t}\). Montrer l’existence de \(K\) tel que : \[\forall t\geqslant 1,\quad y(t)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^tu\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^{+\infty}u\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right).\]
[planches/ex1110] centrale MP 2016 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((1-x)^3y''(x)=y(x)\).
[planches/ex1110]
Déterminer la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\). Montrer que toutes ces solutions sont de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]-\infty,1\right[\).
Soient \(y\) une solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) et, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \(a_n=\displaystyle{y^{(n)}(0)\over n\,!}\). Trouver une relation de récurrence satisfaite par \((a_n)_{n\geqslant 0}\).
Montrer que les solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) sont développables en série entière au voisinage de 0.
Soit \(y\) la solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) telle que \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Que dire de \(y(x)\) lorsque \(x\) tend vers 1 ?
[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.
[planches/ex0923]
Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).
[equadiff/ex0156] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. Soit \(y_1\) une solution particulière de l’équation homogène associée \((E')\). On effectue le changement de fonction inconnue \(y=y_1z\). Reporter cette égalité dans \((E)\) et démontrer que l’on obtient une équation du premier ordre par rapport à \(z'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).
[equadiff/ex0156]
Application : intégrer sur \(\mathscr{D}=\mathbf{R}_+^*\) l’équation : \[x^3y''+xy'-y=-e^{1/x},\] en remarquant que \(y_1:x\mapsto x\) est solution de l’équation homogène associée.
[oraux/ex3113] centrale PSI 2010 Soit \(u\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) telle que : \(u''(x)+e^xu'(x)=-1\), \(u(0)=u(1)=0\).
[oraux/ex3113]
Montrer que \(u\) n’admet pas de minimum local sur \(\left]0,1\right[\).
Montrer que \(u'(0)>0\) et \(u'(1)<0\).
Montrer que \(u\) existe et est unique. Exprimer \(u\) à l’aide d’intégrales.
[concours/ex6304] ens cachan MP 2006
[concours/ex6304]
Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.
[planches/ex2502] centrale MP 2017 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\). On considère l’équation différentielle \((\mathscr{E})\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).
[planches/ex2502]
Pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(y_\alpha\) l’unique solution de \((\mathscr{E})\) vérifiant \(y_\alpha(0)=1\) et \(y_\alpha'(0)=\alpha\).
Montrer que \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_0(x)y_0'(x)>0\). Montrer que \(y_0\) est strictement croissante.
Montrer que \(\forall\alpha\in\mathbf{R}\), \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_\alpha(x)=y_0(x)\left(\displaystyle\int_0^x{\alpha\over y_0^2(t)}\,dt\right)\).
Montrer qu’il existe \(\alpha_1<0\) tel que l’on ait, pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), l’équivalence entre « \(y_\alpha\) s’annule sur \(\mathbf{R}_+\) » et « \(\alpha<\alpha_1\) ». Calculer \(\alpha_1\).
[concours/ex1374] ens cachan MP 1998 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathbf{R}^2\) euclidien, et \[E=\{u\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R}^2)\mid u(0)=A,\ u(1)=B\}.\] Soit \(n\) une application de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), de classe \(C^2\). Pour \(u\in E\), on pose \(F(u)=\displaystyle\int_0^1n(u(t))\|u'(t)\|^2\,dt\). On suppose qu’il existe \(u_0\in E\) tel que \(F(u_0)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits_{u\in E}F(u)\). Montrer que \(u_0\) est de classe \(C^2\) et trouver une équation différentielle vérifiée par \(u_0\).
[concours/ex1374]
[planches/ex1056] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) et \(x\) une solution strictement positive de \(x''+q(t)x=0\). On pose \(f=x'/x\).
[planches/ex1056]
Donner une équation différentielle satisfaite par \(f\).
Montrer que \(f\) est décroissante positive.
Que peut-on dire de l’intégrabilité de \(q\) ?
[planches/ex2136] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) continues et 1-périodiques, et soit \(y\) solution de \(y''+ay'+by=0\) telle que \(y(0)=y(1)=0\). Montrer que \(y\) s’annule en tout \(k\in\mathbf{Z}\).
[planches/ex2136]
[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).
[planches/ex7887]
Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).
[planches/ex9268] ens saclay, ens rennes MP 2023 On considère l’équation différentielle \((D_{\lambda})\) : \(y'' + (\lambda-r)y =0\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(r \in\mathscr{C}^{\infty}(I, \mathbb{R})\), où \(I\) est un intervalle contenant \([0, 1]\).
[planches/ex9268]
On considère \(E_{\lambda}\) l’espaces des solutions \(y\) de \((D_{\lambda})\) telles que \(y(0) = 0\), \(y(1) = 0\).
Quelles sont les dimensions possibles de \(E_{\lambda}\) ?
Caractériser le cas \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E_{\lambda}) = 1\). (On souhaite une condition portant sur \(y_{\lambda}\), solution du problème de Cauchy \((D_{\lambda})\), \(y_{\lambda}(0) = 0\), \(y_{\lambda}'(0) = 1\).)
Montrer que, à \(r\) fixé, les \(E_{\lambda}\) sont orthogonaux pour le produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{0}^{1} fg\).
On note \(N_\lambda\) le nombre de zéros de \(y_{\lambda}\) sur \([0, 1]\). Pourquoi est-il fini ?
Calculer \(N_{\lambda}\) dans le cas \(r = 0\), \(\lambda > 0\).
Dans le cas général, étudier le comportement de \(N_{\lambda}\).
[examen/ex2791] ens paris MP 2025 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\psi\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R}^{+*})\) croissante. Soit \(y\in\mathscr{C}^2([a,b], \mathbf{R})\) non nulle et vérifiant \(y''+\psi(x)y=0\). Montrer que les points où \(|y|\) admet un extremum local forment une suite finie \((a_1,\ldots,a_n)\) (éventuellement vide) et que la suite des valeurs \((|y(a_1)|,\ldots,|y(a_n)|)\) est décroissante.
[examen/ex2791]
[oraux/ex3146] polytechnique, ens cachan PSI 2011
[oraux/ex3146]
Donner un exemple de fonction continue, non identiquement nulle au voisinage de 0 et telle que 0 n’est pas un zéro isolé.
Soient \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable et \(a\in\mathbf{R}\). On suppose que \(f(a)=0\) et que \(a\) n’est pas un zéro isolé de \(f\). Montrer que \(f'(a)=0\).
Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(f:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable telle que \(f(a)=f(b)=0\) et \(\forall x\in\left]a,b\right[\), \(f(x)\geqslant 0\). Montrer : \(f'(a)f'(b)\leqslant 0\).
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\).
Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(f\) sont isolés.
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions de \((E)\) et \(t_0\in I\). On suppose qu’il existe \(c\in\mathbf{R}\) tel que \(f(t_0)=cg(t_0)\) et \(f'(t_0)=cg'(t_0)\). Montrer : \(f=cg\).
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que le wronskien \(W\) de \(f\) et de \(g\) ne s’annule pas. Exprimer \(W(t)\) en fonction de \(W(t_0)\). Montrer que, entre deux zéros consécutifs de \(f\), la fonction \(g\) s’annule.
[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).
[oraux/ex3140]
[planches/ex7169] centrale MP 2021 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\alpha>0\).
[planches/ex7169]
Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \(u''-\displaystyle{f'\over f}u'-{u\over f^2}=0\). On pose \(h=\displaystyle{u'\over f}\).
Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).
Montrer que \(u^2\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\).
Montrer que \(\ell=0\).
[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).
[oraux/ex3136]
Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).
[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).
[planches/ex9503]
Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).
Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).
Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).
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