[oraux/ex3012] polytechnique MP 2009 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\) et \(f\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \(u\) dans \(\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que : \(u''+fu=0\) et \(u(a)=u(b)=0\). Montrer : \(\displaystyle\int_a^b|f(t)|\,dt\geqslant(b-a)/4\).
[oraux/ex3012]
[planches/ex0932] polytechnique MP 2013 Soient \(a\in\left]0,\pi\right[\) et \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)|\leqslant a\).
[planches/ex0932]
[planches/ex8133] mines MP 2022 Soit \(f:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On se donne \(c\geqslant 0\), on pose \(F:x\longmapsto c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\) et on suppose que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant F(x)\).
[planches/ex8133]
Étudier les variations de \(x\longmapsto\displaystyle{F(x)\over x}\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en déduire que \(f\) est bornée.
Soit \(g\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de l’équation différentielle \(y''+xy=0\). En s’intéressant à \(g^2\), montrer que \(g\) est bornée.
[planches/ex3377] polytechnique, espci PC 2018 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(q>0\), \(q'>0\). Montrer que les solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[planches/ex3377]
[equadiff/ex0881] Soit \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\) une équation différentielle linéaire du deuxième ordre homogène à coefficients non forcément constants, de classe \(C^1\) sur l’intervalle \(I\).
[equadiff/ex0881]
Écrire l’équation \((E')\) transformé de \((E)\) en posant \(y=uz\).
Déterminer une équation différentielle simple que doit vérifier la fonction \(u\) de sorte de \((E')\) ne contienne plus de terme en \(z'\), et résoudre cette équation en \(u\).
Montrer que \((E')\) peut se mettre sous la forme : \(z''=cz\), et exprimer la fonction \(c\) en fonction de \(a\) et \(b\).
Déterminer \(u\) et \(c\) quand \(a\) et \(b\) sont constants.
[oraux/ex3133] ens lyon MP 2011 Soit \(\varphi\) une solution maximale non identiquement nulle de \(y''+e^xy=0\).
[oraux/ex3133]
Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbf{R}\).
Montrer que l’on peut ranger l’ensemble des zéros de \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}_+\) en une suite strictement croissante \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\).
Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow0\) quand \(n\rightarrow+\infty\).
Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex3082] polytechnique MP 2010 Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non identiquement nulle de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+e^ty=0\). Montrer que \(f\) admet une infinité dénombrable de zéros.
[oraux/ex3082]
[oraux/ex3142] polytechnique MP 2011 Soit \(a\) dans \(\left]0,\pi\right[\).
[oraux/ex3142]
Déterminer \(y\) de classe \(C^2\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \(y(0)=a\), \(y'(0)=0\), \(y''=-y\).
Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et bornée par \(a\) sur \(\mathbf{R}\).
Trouver \(C>0\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)-y(t)|\leqslant Ct^2\).
[planches/ex1104] mines MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(q(x)>0\) et \(q'(x)>0\). Montrer que les solutions de \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[planches/ex1104]
Indication : Multiplier par \(y'/q\).
[planches/ex8462] mines PC 2022
[planches/ex8462]
Soit \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\). On suppose qu’il existe \(c\geqslant 0\) tel que, pour tout \(x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) solution de \(y''+xy=0\). Montrer que \(y\) est bornée.
[planches/ex1009] mines MP 2014 Soit \((E)\) l’équation différentielle \[y''+e^xy=0.\]
[planches/ex1009]
Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
Les solutions de \((E)\) sont-elles toutes bornées sur \(\mathbf{R}\) ?
[concours/ex3679] mines M 1992 Montrer que toutes les solutions de \(y''+e^xy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).
[concours/ex3679]
[equadiff/ex0157] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. On en cherche une solution sous la forme d’un produit de deux fonctions \(u\) et \(v\), i. e. \(y=uv\).
[equadiff/ex0157]
Déduire de cette égalité que \(u\) vérifie une équation différentielle : \[a_2u''+b_2u'+c_2u=f(x),\] dont les coefficients dépendent de \(x\) et de la fonction \(v\).
On choisit alors \(v\) pour pour que cette équation ne contienne pas \(u'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).
Application : résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[xy''+2y'-xy=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x,\] en remarquant qu’on peut prendre \(v(x)=\displaystyle{1\over x}\).
[oraux/ex2784] mines 2003 Soit \(\lambda>0\). On considère l’équation différentielle : \[(E)\qquad y''=-y+\lambda y'(1-y^2).\] On note \(\varphi:I\rightarrow\mathbf{R}\) une solution maximale de \((E)\). On pose \(g=\varphi^2+(\varphi')^2\).
[oraux/ex2784]
Montrer que \(g'\leqslant 2\lambda g\).
Soit \(a\in I\).
Soit \(x\in\left[a,+\infty\right[\cap I\). Montrer que \(g(x)\leqslant g(a)e^{2\lambda(x-a)}\).
Montrer que \(I\supset\left[a,+\infty\right[\).
[concours/ex3343] centrale M 1993 On considère l’équation différentielle \((E)\) : \[y''+y'+p(x)y=0.\] Trouver \(p(x)\) pour que \((E)\) admette deux solutions \(y_1\), \(\mu y_2\) non identiquement nulles et telles que \(y_2=y_1^2\). Résoudre alors \((E)\).
[concours/ex3343]
[oraux/ex4963] ens PC 2012 Soient \((E)\) : \(y''+(1+e^{-t}) y=0\) et \((F)\) : \(y''+y=0\). Soient \(f\) une solution non nulle de \((E)\) et \(g\) une solution non nulle de \((F)\).
[oraux/ex4963]
Montrer qu’entre deux zéros de \(g\) il y a au moins un zéro de \(f\).
Montrer que \(f\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}^+\). On note \((x_n)_{n\geqslant 0}\) la suite ordonnée des zéros de \(f\) sur \(\mathbf{R}^+\).
Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow \pi\).
Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow +\infty\).
[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]
[planches/ex1100]
[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).
[planches/ex1079]
Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.
Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).
[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).
[planches/ex1636]
Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).
Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).
Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?
Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?
[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).
[oraux/ex3138]
Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).
Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).
[oraux/ex2894] centrale MP 2005 Soit \(q\) une fonction continue et positive définie sur \(\mathbf{R}\). On note \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-qy=0\).
[oraux/ex2894]
Montrer qu’une solution non nulle de \((E)\) ne s’annule qu’au plus une fois.
Désormais \(q(t)=e^t\). Montrer que les solutions de \((E)\) sont développables en série entière.
Donner l’allure des solutions \(f\) et \(g\) de \(y''-e^ty=0\) vérifiant les conditions initiales \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).
[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.
[planches/ex0923]
Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).
[planches/ex9979] mines MP 2023
[planches/ex9979]
Soient \(A\in\mathbf{R}^+\), \(f\), \(g:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}^+\) continues. On suppose que : \[\forall x\geqslant 0,\quad f(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t.\] Montrer que \(\forall x\geqslant 0\), \(f(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_0^xg(t)\,\mathrm{d}t\right)\).
Soit \((*)\) l’équation différentielle \(x''(t)+a(t)x(t)=b(t)\) avec \(a\) et \(b\) continues sur \(\mathbf{R}^+\), \(b\) et \(t\mapsto t\,a(t)\) intégrables sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(x\) solution de \((*)\).
Montrer que : \[\forall t\geqslant 1,\quad x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)\,\mathrm{d}u+\int_1^t(t-u)\,b(u)\,\mathrm{d}u.\]
On pose, pour \(t\geqslant 1\), \(y(t)=\displaystyle\frac{|x(t)|}{t}\). Montrer l’existence de \(K\) tel que : \[\forall t\geqslant 1,\quad y(t)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^tu\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^{+\infty}u\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right).\]
[planches/ex1090] ens PC 2016 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(k\), \(c\in\mathbf{R}_+^*\) tels que, pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|f(x)|\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-kx)\).
[planches/ex1090]
Existe-t-il \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''-u=f\) et \(u(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?
Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u''=(1+f)u\). Donner un équivalent de \(u(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex9269] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soient \(I\) un intervalle non trivial de \(\mathbf{R}\), et \(a\), \(b\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\).
[planches/ex9269]
On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0\).
Soit \(x\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(x\) sont isolés.
On suppose \(a\) de classe \(\mathscr{C}^1\). Montrer qu’il existe \(z\) de classe \(\mathscr{C}^2\) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\), et \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue telles que \(x \mapsto [t \mapsto x(t)\,e^{z(t)}]\) définisse une bijection de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur celui des solutions de \(y''+q(t)\,y=0\).
Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(I\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1 \leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i \in \{1,2\}\). Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs de \(y_1\).
Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q : I \rightarrow \mathbf{R}\) continue, et \(m,M\) deux réels strictement positifs tels que \(m \leqslant q \leqslant M\).
Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \(y''+q(t)y=0\). Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}} \leqslant\beta-\alpha \leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\).
[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.
[oraux/ex2986]
Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).
Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).
Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).
[concours/ex4044] polytechnique pox P 1990 Soit \(f(x)=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x}\).
[concours/ex4044]
Trouver une équation différentielle linéaire, d’ordre \(2\), à coefficients polynomiaux, satisfaite par \(f\).
Résoudre cette équation.
[concours/ex4170] mines M 1990 Soit \(f\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de : \[y''+e^{-t^2}y=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t.\] On suppose \(f\) bornée et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2\) convergente. Montrer que \(f'\) est bornée, puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{t\rightarrow+\infty}f(t)=0\).
[concours/ex4170]
[concours/ex1374] ens cachan MP 1998 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathbf{R}^2\) euclidien, et \[E=\{u\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R}^2)\mid u(0)=A,\ u(1)=B\}.\] Soit \(n\) une application de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), de classe \(C^2\). Pour \(u\in E\), on pose \(F(u)=\displaystyle\int_0^1n(u(t))\|u'(t)\|^2\,dt\). On suppose qu’il existe \(u_0\in E\) tel que \(F(u_0)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits_{u\in E}F(u)\). Montrer que \(u_0\) est de classe \(C^2\) et trouver une équation différentielle vérifiée par \(u_0\).
[concours/ex1374]
[oraux/ex3002] ens paris MP 2009 Soit \(E\) l’ensemble des fonctions complexes de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}^2\), \(2\pi\)-périodiques par rapport à la première variable. On se donne une fonction complexe \(f_0\) de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}\) et \(2\pi\)-périodique.
[oraux/ex3002]
Trouver \(f\in E\) telle que : \(\displaystyle{\partial f\over\partial t}(x,t)=-i\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}(x,t)\) et \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x,0)=f_0(x)\).
Expliciter une constante \(C\) telle que : \[\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}|f(x,t)|^4\,dx\,dt\leqslant C\left(\int_0^{2\pi}|f_0(x)|^2\,dx\right)^{\!2}.\]
[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).
[oraux/ex3140]
[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).
[oraux/ex3136]
Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).
[oraux/ex4962] ens PC 2012 Soit \(a\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((A,B)\in\mathbf{R}\) tels que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(0<A\leqslant a(x)\leqslant B\).
[oraux/ex4962]
Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?
Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=-a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?
[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).
[planches/ex9503]
Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).
Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).
Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).
Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).
[planches/ex0965] centrale PSI 2013 Soit \(F\) l’espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur \(\left]0,+\infty\right[\). Pour \(f\in F\), on considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x^2y''+2y'-2y=f(x)\).
[planches/ex0965]
Trouver les fonctions \(x\mapsto x^r\) solutions de l’équation homogène associée à \((E)\).
Soit \(g(x)=\displaystyle\int_0^x{-tf(t)\over3x^2}\,dt+\int_x^{+\infty}{-xf(t)\over3t^2}\,dt\). Montrer que \(g\) est bien définie sur \(\left]0,+\infty\right[\) puis vérifier que \(g\) est solution de \((E)\).
Quel est le lien entre les deux questions précédentes ?
Montrer que l’application qui envoie \(f\) sur \(g\) définit un endomorphisme de \(F\).
[planches/ex0957] centrale MP 2013 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}_+)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''=q(x)y\).
[planches/ex0957]
Soit \(f\) une solution de \((E)\) telle que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\). Montrer que \(f\) et \(f'\) sont strictement positives et que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\).
Soient \(u\) et \(v\) les solutions de \((E)\) telles que \(u(a)=1\), \(u'(a)=0\), \(v(a)=0\), \(v'(a)=1\). Calculer \(u'v-uv'\). Montrer que, sur \(\left]a,+\infty\right[\), \(u/v\) et \(u'/v'\) sont monotones de monotonies opposées. Montrer que \(u/v\) et \(u'/v'\) tendent en \(+\infty\) vers la même limite réelle.
Montrer qu’il existe une unique solution \(g\) de \((E)\), strictement positive, telle que \(g(a)=1\) et telle que \(g\) décroisse sur \(\left[a,+\infty\right[\).
Déterminer \(g\) lorsque \(q(x)=\displaystyle{1\over x^4}\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). On pourra poser \(y(x)=xz(1/x)\).
[oraux/ex3077] ens cachan MP 2010 Soient \(T\in\mathbf{R}_+^*\) et \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique. On pose \(a_0=\displaystyle{1\over T}\int_0^Ta(x)\,dx\). Pour \(\varepsilon>0\), soit \(a_\varepsilon:x\mapsto a(x/\varepsilon)\). Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R})\).
[oraux/ex3077]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0^+}\displaystyle\int_0^1a_\varepsilon(u)\varphi(u)\, du=a_0\displaystyle\int_0^1\varphi(u)\,du\).
On suppose désormais qu’il existe \(\alpha>0\) tel que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(a(x)\geqslant\alpha\). Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\).
Soit \(\varepsilon>0\). Montrer qu’il existe une unique \(u_\varepsilon\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) solution du problème \((a_\varepsilon u')'=f\) et \(u(0)=u(1)=0\).
Que dire de \(u_\varepsilon\) lorsque \(\varepsilon\rightarrow0^+\) ?
[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).
[concours/ex3550]
[concours/ex6304] ens cachan MP 2006
[concours/ex6304]
Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.
Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.
[planches/ex1056] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) et \(x\) une solution strictement positive de \(x''+q(t)x=0\). On pose \(f=x'/x\).
[planches/ex1056]
Donner une équation différentielle satisfaite par \(f\).
Montrer que \(f\) est décroissante positive.
Que peut-on dire de l’intégrabilité de \(q\) ?
[planches/ex1080] ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(f\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(x''+f(t)x=0\) sur \([0,1]\).
[planches/ex1080]
Décrire la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\), rappeler le théorème de Cauchy linéaire, mettre le système différentiel associé à \((E)\) sous forme matricielle.
Montrer que si \(x\) est solution de \((E)\) et vérifie \(x(0)=x(1)=0\) alors \(x=0\).
Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que pour toute solution de \((E)\), on ait : \[\varepsilon^2\int_0^1x(t)^2\,dt\leqslant\varepsilon\int_0^1x'(t)^2\,dt\leqslant\int_0^1(1-t)x(t)^2\,dt.\]
[planches/ex0956] centrale MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{C})\) \(\pi\)-périodique. Pour \(\omega\in\mathbf{R}\), on considère l’équation différentielle \((E_\omega)\) : \(x''+(\omega^2-q)x=0\) et on note \(S(\omega)\) l’ensemble de ses solutions.
[planches/ex0956]
Établir l’existence de \(x_1\) et \(x_2\) dans \(S(\omega)\) telles que : \[(x_1(0),x'_1(0))=(1,0)\quad\hbox{et}\quad(x_2(0),x'_2(0))=(0,1).\] Montrer que \((x_1,x_2)\) est libre.
Calculer le wronskien de \((x_1,x_2)\).
Soit \(T\) qui à \(x\in S(\omega)\) associe \(T(x):t\mapsto x(t+\pi)\). Montrer que \(T\) est un automorphisme de \(S(\omega)\). Donner la matrice de \(T\) dans la base \((x_1,x_2)\).
On pose \(\Delta=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(T)/2\). Montrer que \(\chi_T=X^2-2\Delta X+1\).
Si \(|\Delta|>1\), montrer que \((E_\omega)\) possède des solutions non bornées. Si \(|\Delta|<1\), montrer que les solutions de \((E_\omega)\) sont bornées.
Montrer que : \[\begin{aligned} x_1(t)&=&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega t)+\int_0^tx_1(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du,\cr x_2(t)&=&{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega t)\over t}+\int_0^tx_2(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du. \end{aligned}\] On fait désormais varier \(\omega\).
Montrer que, lorsque \(\omega\rightarrow+\infty\), \(\Delta_\omega=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega\pi)+O(1/\omega)\).
On appelle intervalle de divergence tout intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\) tel que : \(\forall\omega\in I\), \(|\Delta_\omega|>1\).
Soit \(\varepsilon>0\). Établir l’existence de \(X\in\mathbf{R}_+\) tel que, pour tout intervalle de divergence \(I\subset\left[X,+\infty\right[\), il existe un entier \(n\) tel que \(I\subset[n-\varepsilon,n+\varepsilon]\).
[oraux/ex5092] polytechnique MP 2012 Soient \(E={\cal C}^2([0,1],\mathbf{R})\) et \(Q:u\in E\mapsto\displaystyle\int_0^1 e^x\left( u(x)^2+u'(x)^2\right)\,dx\).
[oraux/ex5092]
Soient \(u,v\in E\) et \(\Phi_{u,v}:t\in\mathbf{R}\mapsto Q(u+tv)\). À quelle condition \(\Phi_{u,v}\) admet-elle un minimum en \(t_0\) ?
On fixe \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}\) et on note \(L=\left\{ u\in E,\; u(0)=a\mbox{ et }u(1)=b\right\}\). La restriction de \(Q\) à \(L\) présente-t-elle un minimum ? Si oui, est-il unique ?
[oraux/ex3051] centrale MP 2009 (avec Maple)
[oraux/ex3051]
Maple
Soient \((E)\) : \((1-x)^3y''=y\) et \(y\) l’unique solution de \((E)\) définie sur \(I=\left]-\infty,1\right[\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\).
Justifier l’existence de \(y\) ; tracer le graphe de \(y\) à l’aide de la fonction odeplot du package plots.
odeplot
plots
On pose \(a_n=y^{(n)}(0)/n\,!\). Établir que \((a_n)\) vérifie une relation de récurrence liant \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(a_{n-1}\) et \(a_{n-3}\).
calculer \(a_n\) pour \(n\in\{0,\ldots,10\}\).
Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(|a_n|\leqslant\alpha^n\). Qu’en déduire sur \(y\) ?
Montrer que \(y\) est positive sur \(\left[0,1\right[\).
En déduire que \(y(x)\geqslant x+\displaystyle\int_0^x{x-t\over(1-t)^2}\,dt\).
Calculer cette intégrale avec Maple. Qu’en déduire sur le comportement de \(y\) ?
[concours/ex3119] polytechnique P 1993
[concours/ex3119]
Soit \(g\), \(k:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) avec \(g\) continue et \(k\) de classe \(C^1\) ne s’annulant pas sur \([a,b]\) et \[(E)\quad(ky')'+gy=0.\]
Montrer que l’ensemble des zéros d’une solution non nulle de \((E)\) est fini.
Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que si \(x_1\) et \(x_2>x_1\) sont deux zéros de \(y_1\), alors \(y_2\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).
Soit \(g_1\), \(g_2:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) continues telles que \(g_1<g_2\), \[(E_j)\quad(ky')'+g_jy=0\quad(j=1,2)\] et \(u\) une solution non nulle de \(E_1\) s’annulant en \(x_1\) et \(x_2>x_1\). Montrer que toute solution de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).
[planches/ex0917] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2013 Soient \(\eta\) et \(\varphi\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), avec \(\eta\) à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-\eta y=\varphi\).
[planches/ex0917]
Montrer que \((E)\) admet au plus une solution 1-périodique.
On suppose \(\eta\) constante. Montrer que \((E)\) possède une solution 1-périodique.
Établir l’existence de \(\alpha>0\) tel que, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\) vérifiant \(0<|\lambda|<\alpha\), l’équation \(u''-\lambda\eta u=\varphi\) admette une solution 1-périodique.
Indication : On écrit \(\varphi=\lambda\varphi_1+\varphi_0\) avec \(\varphi_1\) constante et \(\displaystyle\int_0^1\varphi_0=0\). On cherche alors la solution \(u\) sous la forme \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\lambda^n(u_n+c_n)\) où \(c_n\) est constante de \(u_n\) est une fonction 1-périodique vérifiant \(u_n(0)=0\).
[planches/ex9340] ens PSI 2023 Soient \(a>0\) et \(q \in\mathscr{C}^2(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}^{+*})\) telle que \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t = +\infty\).
[planches/ex9340]
Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\)
Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\) qui n’ont pas de zéros en commun. On pose \(\Phi = y_1 + iy_2\) et \(\Phi (a) = r_0e^{i\theta_0}\).
Montrer que \(\forall x \geqslant a\), \(\Phi (x) = e^{\Psi(x)}\) où \(\Psi(x)=\displaystyle\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \,{\rm d}t + \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (r_0) + i\theta_0\).
Montrer que l’on peut écrire \(y_1(x) =r(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta(x))\) et \(y_2(x) =r(x) \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta(x))\) où \(r(x) = \sqrt{y_1^2(x) + y_2^2(x)}\) et \(\theta (x) = \theta_0 +\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{y_1y'_2-y_2y'_1}{y_1^2+ y_2^2}\).
On pose \(x \mapsto f(x) =\displaystyle\int_a^{x} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\left[a,+\infty\right[\) sur \(\mathbf{R}^+\).
Soit \(y\) une solution de \((E)\), non identiquement nulle. On pose \(Y = y\mathbin{\circ} f^{-1}\). Montrer que \(Y'' +vY' +Y =0\) où \(v~: t \mapsto\displaystyle\frac{q'(f^{-1}(t))}{2 (q(f^{-1}(t)))^{3/2}}\).
Montrer que \(Y\) et \(Y'\) n’ont pas de zéro en commun et que l’on peut écrire \(Y = r \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits (\theta)\) et \(Y'= r \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta)\) où \(r\), \(\theta\) sont des fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\).
Montrer que \((r^2)' = -2v r^2 \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(\theta)\). En déduire que \(y\) et \(y'\) sont bornées.
[oraux/ex2974] mines PSI 2008 Soient \(p\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) : \(y''+py=0\). Soit \(f\) une solution de \((E)\).
[oraux/ex2974]
On suppose : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x)>0\). Montrer que \(f\) est non bornée.
On suppose qu’il existe un unique \(a\in\mathbf{R}\) tel que \(f(a)=0\). Montrer que \(f\) est non bornée.
On suppose que \(f\) est bornée. Montrer que \(f\) est identiquement nulle.
[oraux/ex3113] centrale PSI 2010 Soit \(u\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) telle que : \(u''(x)+e^xu'(x)=-1\), \(u(0)=u(1)=0\).
[oraux/ex3113]
Montrer que \(u\) n’admet pas de minimum local sur \(\left]0,1\right[\).
Montrer que \(u'(0)>0\) et \(u'(1)<0\).
Montrer que \(u\) existe et est unique. Exprimer \(u\) à l’aide d’intégrales.
[oraux/ex4961] ens PC 2012 Soient \(a,b,c,d\) dans \({\cal C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\). On suppose : \(a>0\), \(c<0\) et \(d>0\). Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(ay''+by'+cy=d\), \(y(0)=0\).
[oraux/ex4961]
Si \(y'(0)=0\), montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}^{+*}\), \(y(t)>0\).
On suppose qu’il existe \(t_1>0\) tel que \(y(t_1)>0\). Montrer : \(\forall t\geqslant t_1\), \(y(t)\geqslant 0\).
Vous pouvez choisir les informations imprimées pour chaque exercice des PDF : référence interne, taille de la famille