Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1109] centrale MP 2016

1. Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_2\geqslant q_1\), \(u\) (resp. \(v\)) une solution non identiquement nulle de \(y_1''+q_1y=0\) (resp. \(y''+q_2y=0\)), \(a\) et \(b\) deux zéros consécutifs de \(u\). Montrer que soit \(v/u\) est constante sur \(\left]a,b\right[\), soit \(v\) s’annule sur \(\left]a,b\right[\).

2. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_-\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?

3. Soient \(c\) et \(d\) deux éléments de \(\mathbf{R}_+^*\) tels que \(c<d\), \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \([c^2,d^2]\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?

[oraux/ex3049] centrale MP 2009 Soit \(I\) un intervalle ouvert et non vide de \(\mathbf{R}\).

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+Ay'+By=0\).

   1. Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\) et \(S\) un segment de \(I\). Montrer que \(f\) s’annule un nombre fini de fois sur \(S\).

   2. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).

2. Soient \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in I\), \(p(x)<q(x)\). Soient \(f\), \(g\in\mathscr{C}^2(I,\mathbf{R})\) non identiquement nulles et telles que : \(f''+pf=0\) et \(g''+qg=0\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).

[planches/ex3691] mines PSI 2018 On considère l’équation différentielle \((E):y''+a(t)y'+b(t)y=0\) où \(a\) et \(b\) désignent des fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\).

1. Calculer pour deux solutions \(f\), \(g\) de \((E)\) la quantité \(W=fg'-f'g\).

2. On suppose \(a\) impaire et \(b\) paire. Montrer que la fonction \(f\) solution de \((E)\) avec les conditions initiales \(f(0)=1\) et \(f'(0)=1\) est paire. Montrer de même que la fonction \(g\) solution de \((E)\) avec les conditions initiales \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\) est impaire. En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de \((E)\) constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

3. On suppose qu’il existe une base de l’espace des solutions de \((E)\) constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) paire.

[planches/ex6507] polytechnique MP 2021

1. Soient \(q_1\), \(q_2\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). Soient \(y_1\) (resp. \(y_2\)) une solution non nulle de \(y''+q_1y=0\) (resp. \(y''+q_2y=0\)). Soient \(u\), \(v\in\mathbf{R}_+\) tels que \(u<v\), \(y_1(u)=y_1(v)=0\). Montrer que \(y_2\) s’annule sur \([u,v]\).

2. Soit \(m\), \(M\in\mathbf{R}\) avec \(0<m\leqslant M\). Soit \(y\) une solution non nulle de \(y''+qy=0\) où \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) vérifie \(m\leqslant q\leqslant M\). Montrer que l’on peut ranger les zéros de \(y\) en une suite croissante \((t_n)_{n\geqslant 0}\) avec, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(t_{n+1}-t_n\in\left[-\displaystyle{\pi\over\sqrt M},{\pi\over\sqrt M}\right]\).

[concours/ex6515] polytechnique PC 2006 Soient \(f_1\) et \(f_2\) deux fonctions continues sur \(\mathbf{R}\) telles que \(f_2>f_1\), \((E_1)\) : \(y''+f_1y=0\), et \((E_2)\) : \(y''+f_2y=0\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) une solution non nulle de \((E_1)\) (resp. de \((E_2)\)), \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule sur \([\alpha,\beta]\).