Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3236] mines M 1993 Soit \(u\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) et \(f\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+\). On suppose qu’il existe une constante \(A\) telle que, pour tout \(x\) de \(\mathbf{R}_+\), \[u(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)u(t)\,dt.\] Montrer que \[u(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_0^xf(t)\,dt\right).\] Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+y(1+g(t))=0\), où \(g\) est une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\bigl|g(t)\bigr|\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(E\) est bornée.

[planches/ex0928] polytechnique MP 2013 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et intégrable. Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+(1+q(t))y=0\) est bornée sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex1066] centrale PSI 2015 Soit \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}|a(x)|\,dx\) existe.

1. A-t-on nécessairement \(a(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?

2. Soit \(f\) vérifiant sur \(\mathbf{R}_+\) : \(y''(x)+(1+a(x))y(x)=0\). Soit \[g:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f(x)+\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)a(t)f(t)\,dt.\] Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}_+\), puis que \(g''+g=0\).

3. Montrer qu’il existe \(c\in\mathbf{R}_+\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|a(t)|\,|f(t)|\,dt\).

4. Montrer que toutes les solutions de \(y''+(1+a)y=0\) sont bornées.

[concours/ex3081] polytechnique M 1993 Soit \(J\) l’intervalle \(\left]a,+\infty\right[\), \(q\) une application continue sur \(J\) à valeurs réelles. On suppose que : \[\int_a^{+\infty}\left|q(t)\right|\,dt\] converge. Montrer qu’il existe une solution, à valeurs complexes, de l’équation différentielle : \[x''+(1+q)x=0,\] telle que \(x(t)-e^{it}\) tende vers \(0\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2840] centrale 2004 Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues sur \(I=[a,b]\), telles que \(\forall x\in I\), \(r(x)\geqslant q(x)\). On considère les équations différentielles : \[\begin{array}{lcc}y''+qy=0&&(E_1)\\z''+rz=0&&(E_2)\end{array}\]

1. Soient \(x_0\) et \(x_1\) deux zéros consécutifs de \(y\), solution non nulle de \((E_1)\). Peut-on avoir \(y'(x_0)=0\) ou \(y'(x_1)=0\) ? Que dire des signes de \(y'(x_0)\) et \(y'(x_1)\) ?

2. Soit \(z\) une solution de \((E_2)\). On note \(w(x)=y(x)z'(x)-y'(x)z(x)\). Calculer \(w'(x)\) et exprimer \(w(x_1)-w(x_0)\).

3. Montrer que pour tout \(z\) solution de \((E_2)\), \(z\) s’annule entre \(x_0\) et \(x_1\).

4. Montrer que toute solution de \((E_1)\) est proportionnelle à \(y\) ou alors qu’elle s’annule entre \(x_0\) et \(x_1\).

   Application : Soit \(y\) une solution de l’équation \(y''+e^{x^2}y=0\). La fonction \(y\) s’annule-t-elle ?