Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1096] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+^*)\). On cherche s’il existe des solutions non nulles bornées de l’équation \((E)\) : \(y''-q(x)y=0\).

1. Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer qu’on peut supposer l’existence d’un réel \(a\) tel que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\).

2. Montrer que, pour tout \(x\geqslant a\), \(f'(x)\geqslant f'(a)\).

3. Conclure.

[oraux/ex2819] ens cachan 2004 Considérons l’équation différentielle : \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\) où \(a\) et \(b\) sont des fonctions réelles continues. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions linéairement indépendantes.

1. Montrer que les zéros de \(y_1\) sont isolés et qu’entre deux zéros de \(y_1\) il y a un unique zéro de \(y_2\).

2. Soit l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) où \(q\) est continue négative. Soit \(y\) une solution non constante ; montrer que \(y\) a au plus un zéro.

[concours/ex1319] mines MP 1998 Soit \(I\) un intervalle non vide de \(\mathbf{R}\), et \(p\in\mathscr{C}(I,\mathbf{C})\). Soit \(u\) une solution de \(y''+py=0\).

1. On suppose que, pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits p(t)\leqslant 0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).

2. On suppose que pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits p(t)\neq0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).

[planches/ex2138] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation différentielle \(y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0\) admet-elle une base formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire ?

[oraux/ex5642] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(\pi\)-périodique, \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).

1. 1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E)\) telle que \(y_1(0)=1\) et \(y'_1(0)=0\) et une unique solution \(y_2\) de \((E)\) telle que \(y_2(0)=0\) et \(y'_2(0)=1\).

   2. Montrer que \((y_1,y_2)\) est une base de l’espace vectoriel \(S\) des solutions de \((E)\).

   3. Montrer que \(y_1\) est paire et \(y_2\) impaire.

   4. Montrer que la fonction \(y_1\,y'_2-y'_1\,y_2\) est constante.

2. Pour \(y\in S\), on note \(f(y)\,:\;t\mapsto y(t+\pi)\).

   1. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(S\).

   2. Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \((y_1,y_2)\).

   3. Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \(X^2-2a\,X+1\), pour un certain réel \(a\).

3. On suppose \(a=1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(\pi\)-périodique non triviale.

4. On suppose \(a=-1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(2\pi\)-périodique non triviale.

5. On suppose \(|a|>1\). Montrer que \(f\) admet deux vecteurs propres linéairement indépendants. Montrer que ce sont des fonctions non bornées. En déduire les solutions bornées de \((E)\).