Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9271] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(p:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, non identiquement nulle, \(\pi\)-périodique et telle que \(\displaystyle\int_0^{\pi}p(t)\mathrm{d} t \geqslant 0\) et \(\displaystyle\int_0^\pi |p(t)| \mathrm{d} t\leqslant\frac{\pi}{4}\).

Montrer que l’équation \(u''+pu=0\) n’admet pas de solution \(u\) non nulle sur \(\mathbf{R}\) telle qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) tel que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t+\pi)=\lambda\, u(t).\)

[planches/ex1083] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et de période \(\pi\). On note \(E\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).

On note \(f:\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\rightarrow\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\) l’application qui à \(\varphi\) associe \(x\mapsto\varphi(x+\pi)\).

1. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel réel sont on précisera la dimension.

2. Montrer que \(f\) induit un endomorphisme de \(E\) noté \(\tilde f\).

3. Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\tilde f)=1\).

4. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|<2\). Montrer que \(E\) est constitué de fonctions bornées.

5. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|>2\). Montrer que la fonction nulle est la seule fonction bornée de \(E\).

6. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|=2\). Montrer que \(E\) contient une fonction bornée non nulle.

7. Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), nulle en \(a\) et \(b\) et strictement positive sur \(\left]a,b\right[\). On admet que, pour une telle fonction, \(\displaystyle\int_a^b{|\varphi''(t)|\over\varphi(t)}\,dt>{4\over b-a}\).

   Montrer que si \(q\) est positive, \(q\) n’est pas la fonction nulle et \(\displaystyle\int_0^\pi q(t)\,dt\leqslant{4\over\pi}\), alors \(E\) ne contient que des fonctions bornées.

[oraux/ex3003] ens lyon MP 2009 Soient \(T>0\), \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique, \(S\) l’espace des solutions réelles de \(y''+qy=0\) sur \(\mathbf{R}\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) l’élément de \(S\) tel que \(y_1(0)=0\), \(y_1'(0)=1\) (resp. \(y_2(0)=1\), \(y_2'(0)=0\)).

1. Montrer que si \(f\) est dans \(S\), il en est de même de \(f_T:x\mapsto f(x+T)\). On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(S\) que à \(f\in S\) associe \(f_T\) et \(A\) sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\).

2. Calculer le déterminant de \(A\).

3. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|<2\). Montrer que tout élément de \(S\) est borné sur \(\mathbf{R}\).

4. On suppose \(q\geqslant 0\) et \(q\) non identiquement nulle. Montrer que tout élément de \(S\) s’annule au moins deux fois sur \(\mathbf{R}\).

5. On suppose que \(q\) est positive et que \(\displaystyle{1\over T}\int_0^Tq<4\). Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).

   Indication : on admettra que si \(f\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f(a)=f(b)=0\) alors \(\displaystyle\int_a^b\left|{f''\over f}\right|>\displaystyle{4\over b-a}\).

[examen/ex1420] polytechnique PSI 2024 On considère l’équation différentielle \((E)\): \(y''(t)+\varphi(t)y(t)=0\), avec \(\varphi\) continue \(2\pi\)-périodique et on note \(Sol\) l’ensemble des solutions de \((E)\) de classe \(\mathscr{C}^2\) à valeurs complexes.

1. Montrer qu’il existe \(y_1\in Sol\) telle que \(y_1(0)=1,\) \(y'_1(0)=0\), et \(y_2\in Sol\) telle que \(y_2(0)=0,y'_2(0)=1\).

   Montrer que toute solution de \((E)\) est combinaison linéaire de \(y_1\) et \(y_2\).

2. Pour \(y\in Sol\), on note \(\Psi(y)\) la fonction \(t\mapsto y(t+2\pi)\). Montrer que \(\Psi(y)\in Sol\).

   Déterminer la nature de l’application \(\Psi\).

3. Montrer que, si \(z\in Sol\) avec \(z\neq 0\) est telle que \(\forall t\in\mathbb{R}\), \(z(t+2\pi)=\lambda z(t)\) avec \(\lambda\in\mathbb{C}\), alors \(\lambda\) est racine du polynôme \(X^2-(y_1(2\pi)+y'_2(2\pi))X-y'_1(2\pi)y_2(2\pi)+y_1(2\pi)y'_2(2\pi)\). Étudier la réciproque.

4. Montrer que \(\lambda\) ne peut être nul puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits (\varphi)=1\).

[planches/ex7679] ens PSI 2022 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(2\pi\)-périodique. L’objectif de l’exercice est d’étudier les solutions bornées de l’équation \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(y_1\) la solution de \((E)\) vérifiant les conditions \(y_1(0)=1\) et \(y_1'(0)=0\) et \(y_2\) la solution telle que \(y_2(0)=0\) et \(y_2'(0)=1\).

1. Montrer que la fonction \(y_1\) est paire et que la fonction \(y_2\) est impaire.

2. Soient \(W=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(y_1,y_2)\) et \(A:y\in W\longmapsto(x\longmapsto y(\pi+x))\). Déterminer la matrice de \(A\) dans la base \((y_1,y_2)\) puis calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\).

3. Avec la première question, calculer \(A^{-1}\).

4. À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, montrer que \(y_1(\pi)=y_2'(\pi)\).

5. Soit \(T\) la trace de \(A\). Montrer que, si \(|T|<2\), les solutions de \((E)\) sont bornées puis que, si \(|T|=2\), il existe une solution de \((E)\) non nulle et bornée.