Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).

[concours/ex2392] mines M 1995 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2(t)\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(x''(t)+(1+f(t))x(t)=0\) est bornée.

[planches/ex1100] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Que peut-on dire de la dimension de l’espace des solutions sur \(\mathbf{R}\) de l’équation différentielle \[xy''+a(x)y'+b(x)y=0\ ?\]

[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.

1. Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).

2. Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).

3. Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).

[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).