Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).

1. Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).

[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.

Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).

[oraux/ex3174] centrale MP 2011 (avec Maple)

Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose qu’il existe \(L>0\) tel que : \(\forall(x,y,t)\in\mathbf{R}^3\), \(|f(t,x)-f(t,y)|\leqslant L|x-y|\). On fixe \(a\), \(b\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(x\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on note \(T(x)\) la fonction définie par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad T(x)(t)=a+bt+\int_0^t(t-s)f(s,x(s))\,ds.\]

1. Vérifier que \(T(x)\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. On suppose \(f(t,x)=(2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t-2)x\). On prend pour \(y\) la fonction nulle. Tracer, pour \(8\leqslant n\leqslant 12\), le graphe de \(T^n(y)\) sur \([-6,6]\).

3. Montrer que pour toute \(x\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) la suite \((T^n(x))\) converge uniformément sur tout segment de \(\mathbf{R}\) vers une fonction \(y\) telle que \(y(0)=a\), \(y'(0)=b\), \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y''(t)=f(t,y(t))\).

[planches/ex1056] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) et \(x\) une solution strictement positive de \(x''+q(t)x=0\). On pose \(f=x'/x\).

1. Donner une équation différentielle satisfaite par \(f\).

2. Montrer que \(f\) est décroissante positive.

3. Que peut-on dire de l’intégrabilité de \(q\) ?

[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).