Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2799] mines 2003

1. Soit \((E)\) : \(y''+y=f(x)\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). Montrer que : \[g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,dt\] est une solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\).

2. Soit \(\sigma>0\). On cherche une solution du problème de Cauchy \((E')\) : \(y''+y=\sigma y^2\), \(y(0)=1/2\) et \(y'(0)=0\). Soit \(b>0\) tel que \(\sigma b<1/2\). Soit \((y_n)\) la suite définie par : \[y_0(x)={1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\quad\hbox{et}\quad\forall n\geqslant 1,\quad y_n''+y_n=\sigma y_{n-1},\ y_n(0)=y_n'(0)=0.\]

   1. Exprimer \(y_n\) à l’aide de \(y_{n-1}\) et d’une intégrale.

   2. Montrer : \(|y_n(x)-y_{n-1}(x)|\leqslant\displaystyle{1\over2}\,{(\sigma x)^n\over n\,!}\).

   3. Montrer que \((E')\) a une unique solution sur \([0,b]\).

[concours/ex6304] ens cachan MP 2006

1. Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.

[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).

2. Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).

   1. Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

   2. Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex1005] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), \(g\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+f(x)=-xg(x)f'(x)\). Montrer que \(f\) est bornée.

[planches/ex7169] centrale MP 2021 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\alpha>0\).

Soit \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \(u''-\displaystyle{f'\over f}u'-{u\over f^2}=0\). On pose \(h=\displaystyle{u'\over f}\).

1. Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

2. Montrer que \(u^2\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\).

3. Montrer que \(\ell=0\).