Édition de feuilles d'exercices

[equadiff/ex0088] Montrer comment on peut résoudre une équation différentielle (d’Euler) de la forme \[(E)\quad x^2y''+axy'+by=0\] à l’aide du changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits|x|\).

[oraux/ex2913] ccp PC 2005 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \((1)\) l’équation différentielle : \(ax^2y''(x)+bxy'(x)+cy(x)=0\), dont on considérera les solutions sur \(\left]0,+\infty\right[\).

1. Justifier le changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\) et résoudre \((1)\).

2. Résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) suivant les valeurs de \(a\) : \(x^2y''(x)+xy'(x)+y(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\).

[planches/ex0935] polytechnique, ens cachan PSI 2013 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''(x)+q(x)y(x)=0\) où \(q\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle et négative.

1. 1. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution positive de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est convexe.

   2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y^2\) est convexe.

2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution bornée de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est identiquement nulle.

3. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\).

   1. Montrer que pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|y(x)|\geqslant 1\), puis \(y(x)\geqslant 1\).

   2. Montrer que \(y\) est convexe.

[oraux/ex3169] centrale MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) et \(E\) l’ensemble des solutions de l’équation \(y''-qy=0\).

1. Justifier l’existence de la solution \(y_s\) telle que \(y_s(0)=1\) et \(y'_s(0)=s\).

2. Montrer que si \(y\in E\) alors \(y^2\) est convexe.

3. Montrer que \(y_1\geqslant 1\) sur \(\mathbf{R}_+\) puis que \(\displaystyle{1\over y_1^2}\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

4. Montrer que \(Y:x\mapsto y_1(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over y_1(t)^2}\) est une solution bornée de \(E\).

   Indication : Montrer que \(\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over y_1(t)^2}\leqslant\displaystyle\int_x^{+\infty}{y_1'(t)\over(y_1-t)^2}\,dt\).

5. Montrer qu’il existe un unique \(s_0\in\mathbf{R}\) tel que \(y_{s_0}\) ne s’annule pas et soit bornée sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(y_{s_0}\) et sa dérivée convergent en \(+\infty\).

6. Que dire de la limite de \(y_s\) si \(s>s_0\) ? si \(s<s_0\) ?

[oraux/ex3090] mines MP 2010 Soient \(q\) une application continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une solution non identiquement nulle de \(y''-qy=0\). Montrer que \(f\) s’annule au plus une fois sur \(\mathbf{R}\).