Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3113] centrale PSI 2010 Soit \(u\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) telle que : \(u''(x)+e^xu'(x)=-1\), \(u(0)=u(1)=0\).

1. Montrer que \(u\) n’admet pas de minimum local sur \(\left]0,1\right[\).

2. Montrer que \(u'(0)>0\) et \(u'(1)<0\).

3. Montrer que \(u\) existe et est unique. Exprimer \(u\) à l’aide d’intégrales.

[planches/ex0989] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soient \(a>0\) et \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f'=a\). On considère \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-\displaystyle{f'\over f}y'-{y\over f^2}=0\).

1. Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

2. Montrer que \(u(x)\rightarrow0\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[concours/ex3119] polytechnique P 1993

Soit \(g\), \(k:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) avec \(g\) continue et \(k\) de classe \(C^1\) ne s’annulant pas sur \([a,b]\) et \[(E)\quad(ky')'+gy=0.\]

1. Montrer que l’ensemble des zéros d’une solution non nulle de \((E)\) est fini.

2. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que si \(x_1\) et \(x_2>x_1\) sont deux zéros de \(y_1\), alors \(y_2\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

3. Soit \(g_1\), \(g_2:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) continues telles que \(g_1<g_2\), \[(E_j)\quad(ky')'+g_jy=0\quad(j=1,2)\] et \(u\) une solution non nulle de \(E_1\) s’annulant en \(x_1\) et \(x_2>x_1\). Montrer que toute solution de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).

1. Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).

[concours/ex6304] ens cachan MP 2006

1. Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.