[oraux/ex4930] ens lyon MP 2012 On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^1([-1,1],\mathbf{R})\) vérifiant \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=1\). On considère \(J : f \in E \mapsto \displaystyle\int_{-1}^1 \left(x\, f'(x)\right)^2\,dx\). La fonction \(J\) possède-t-elle un minimum ?
[oraux/ex4930]
[examen/ex2791] ens paris MP 2025 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\psi\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R}^{+*})\) croissante. Soit \(y\in\mathscr{C}^2([a,b], \mathbf{R})\) non nulle et vérifiant \(y''+\psi(x)y=0\). Montrer que les points où \(|y|\) admet un extremum local forment une suite finie \((a_1,\ldots,a_n)\) (éventuellement vide) et que la suite des valeurs \((|y(a_1)|,\ldots,|y(a_n)|)\) est décroissante.
[examen/ex2791]
[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).
[oraux/ex3136]
Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).
[planches/ex0996] polytechnique MP 2014 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue telle que \(t\mapsto tq(t)\) soit intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \(y:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction deux fois dérivable telle que \(y''+qy=0\). Montrer successivement :
[planches/ex0996]
que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) est bornée au voisinage de \(+\infty\) ;
que \(y'\) a une limite finie en \(+\infty\) ;
que \(t\mapsto\displaystyle{y(t)\over t}\) a une limite finie en \(+\infty\).
[planches/ex1636] ens PC 2017 Soit \(u\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(u(0)=0\) et \(u(x)\rightarrow\ell\in\mathbf{R}\) quand \(x\rightarrow+\infty\). Soient \(c\in\mathbf{C}\setminus\mathbf{R}\) et \((*)\) l’équation différentielle \((u-c)y''=u''y\).
[planches/ex1636]
Déterminer la dimension de l’espace des solutions de \((*)\).
Donner une solution \(\varphi_1\) non nulle et bornée en \(+\infty\) de \((*)\).
Soit \(\varphi_2\) une solution de \((*)\) indépendante de \(\varphi_1\). Peut-on avoir \(\varphi_2\) bornée en \(+\infty\) ?
Que se passe-t-il si \(c\in\mathbf{R}\) ?
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