Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2981] centrale MP 2008 (avec Maple)

1. Résoudre \(y''+\displaystyle{y\over x^2}=0\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) à l’aide de Maple. Existe-t-il des solutions bornées ?

2. Soit \((E)\) : \(y''+\displaystyle{y\over x^2+4x+3}=0\). On se donne une solution \(f\) bornée de \((E)\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). Montrer que \(f'\) admet une limite nulle en \(+\infty\). Existe-t-il des solutions non bornées sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?

[planches/ex0917] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2013 Soient \(\eta\) et \(\varphi\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), avec \(\eta\) à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-\eta y=\varphi\).

1. Montrer que \((E)\) admet au plus une solution 1-périodique.

2. On suppose \(\eta\) constante. Montrer que \((E)\) possède une solution 1-périodique.

3. Établir l’existence de \(\alpha>0\) tel que, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\) vérifiant \(0<|\lambda|<\alpha\), l’équation \(u''-\lambda\eta u=\varphi\) admette une solution 1-périodique.

   Indication : On écrit \(\varphi=\lambda\varphi_1+\varphi_0\) avec \(\varphi_1\) constante et \(\displaystyle\int_0^1\varphi_0=0\). On cherche alors la solution \(u\) sous la forme \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\lambda^n(u_n+c_n)\) où \(c_n\) est constante de \(u_n\) est une fonction 1-périodique vérifiant \(u_n(0)=0\).

[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).

1. Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).

[oraux/ex3002] ens paris MP 2009 Soit \(E\) l’ensemble des fonctions complexes de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}^2\), \(2\pi\)-périodiques par rapport à la première variable. On se donne une fonction complexe \(f_0\) de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbf{R}\) et \(2\pi\)-périodique.

1. Trouver \(f\in E\) telle que : \(\displaystyle{\partial f\over\partial t}(x,t)=-i\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}(x,t)\) et \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f(x,0)=f_0(x)\).

2. Expliciter une constante \(C\) telle que : \[\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}|f(x,t)|^4\,dx\,dt\leqslant C\left(\int_0^{2\pi}|f_0(x)|^2\,dx\right)^{\!2}.\]

[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).