Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3119] polytechnique P 1993

Soit \(g\), \(k:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) avec \(g\) continue et \(k\) de classe \(C^1\) ne s’annulant pas sur \([a,b]\) et \[(E)\quad(ky')'+gy=0.\]

1. Montrer que l’ensemble des zéros d’une solution non nulle de \((E)\) est fini.

2. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que si \(x_1\) et \(x_2>x_1\) sont deux zéros de \(y_1\), alors \(y_2\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

3. Soit \(g_1\), \(g_2:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) continues telles que \(g_1<g_2\), \[(E_j)\quad(ky')'+g_jy=0\quad(j=1,2)\] et \(u\) une solution non nulle de \(E_1\) s’annulant en \(x_1\) et \(x_2>x_1\). Montrer que toute solution de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

[planches/ex0989] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soient \(a>0\) et \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f'=a\). On considère \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-\displaystyle{f'\over f}y'-{y\over f^2}=0\).

1. Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

2. Montrer que \(u(x)\rightarrow0\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex2799] mines 2003

1. Soit \((E)\) : \(y''+y=f(x)\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). Montrer que : \[g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,dt\] est une solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\).

2. Soit \(\sigma>0\). On cherche une solution du problème de Cauchy \((E')\) : \(y''+y=\sigma y^2\), \(y(0)=1/2\) et \(y'(0)=0\). Soit \(b>0\) tel que \(\sigma b<1/2\). Soit \((y_n)\) la suite définie par : \[y_0(x)={1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\quad\hbox{et}\quad\forall n\geqslant 1,\quad y_n''+y_n=\sigma y_{n-1},\ y_n(0)=y_n'(0)=0.\]

   1. Exprimer \(y_n\) à l’aide de \(y_{n-1}\) et d’une intégrale.

   2. Montrer : \(|y_n(x)-y_{n-1}(x)|\leqslant\displaystyle{1\over2}\,{(\sigma x)^n\over n\,!}\).

   3. Montrer que \((E')\) a une unique solution sur \([0,b]\).

[planches/ex1080] ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(f\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(x''+f(t)x=0\) sur \([0,1]\).

1. Décrire la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\), rappeler le théorème de Cauchy linéaire, mettre le système différentiel associé à \((E)\) sous forme matricielle.

2. Montrer que si \(x\) est solution de \((E)\) et vérifie \(x(0)=x(1)=0\) alors \(x=0\).

3. Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que pour toute solution de \((E)\), on ait : \[\varepsilon^2\int_0^1x(t)^2\,dt\leqslant\varepsilon\int_0^1x'(t)^2\,dt\leqslant\int_0^1(1-t)x(t)^2\,dt.\]

[planches/ex0957] centrale MP 2013 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}_+)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''=q(x)y\).

1. Soit \(f\) une solution de \((E)\) telle que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\). Montrer que \(f\) et \(f'\) sont strictement positives et que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\).

2. Soient \(u\) et \(v\) les solutions de \((E)\) telles que \(u(a)=1\), \(u'(a)=0\), \(v(a)=0\), \(v'(a)=1\). Calculer \(u'v-uv'\). Montrer que, sur \(\left]a,+\infty\right[\), \(u/v\) et \(u'/v'\) sont monotones de monotonies opposées. Montrer que \(u/v\) et \(u'/v'\) tendent en \(+\infty\) vers la même limite réelle.

3. Montrer qu’il existe une unique solution \(g\) de \((E)\), strictement positive, telle que \(g(a)=1\) et telle que \(g\) décroisse sur \(\left[a,+\infty\right[\).

4. Déterminer \(g\) lorsque \(q(x)=\displaystyle{1\over x^4}\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). On pourra poser \(y(x)=xz(1/x)\).