Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1104] mines MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(q(x)>0\) et \(q'(x)>0\). Montrer que les solutions de \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

Indication : Multiplier par \(y'/q\).

[planches/ex8462] mines PC 2022

1. Soit \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\). On suppose qu’il existe \(c\geqslant 0\) tel que, pour tout \(x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) solution de \(y''+xy=0\). Montrer que \(y\) est bornée.

[planches/ex1009] mines MP 2014 Soit \((E)\) l’équation différentielle \[y''+e^xy=0.\]

1. Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Les solutions de \((E)\) sont-elles toutes bornées sur \(\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex3133] ens lyon MP 2011 Soit \(\varphi\) une solution maximale non identiquement nulle de \(y''+e^xy=0\).

1. Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’on peut ranger l’ensemble des zéros de \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}_+\) en une suite strictement croissante \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

3. Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow0\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

4. Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

[equadiff/ex0157] On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre : \[(E)\qquad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),\] où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont continues sur le même domaine de \(\mathbf{R}\), \(a\) ne s’annulant pas sur ce domaine. On en cherche une solution sous la forme d’un produit de deux fonctions \(u\) et \(v\), i. e. \(y=uv\).

1. Déduire de cette égalité que \(u\) vérifie une équation différentielle : \[a_2u''+b_2u'+c_2u=f(x),\] dont les coefficients dépendent de \(x\) et de la fonction \(v\).

2. On choisit alors \(v\) pour pour que cette équation ne contienne pas \(u'\). En déduire une méthode d’intégration de \((E)\).

3. Application : résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[xy''+2y'-xy=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x,\] en remarquant qu’on peut prendre \(v(x)=\displaystyle{1\over x}\).