Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6508] polytechnique MP 2021 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose que \(q'\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\) et que \(q(t)\rightarrow0\) quand \(t\rightarrow+\infty\). Montrer que les solutions de \(y''+(q+1)y=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[planches/ex1114] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \[(1)\quad y''=(1+x^4)y.\]

1. Montrer que \((1)\) possède une unique solution \(y\) telle que \(y(0)=y'(0)=1\).

2. Soit \(f\) une solution de \((1)\). On suppose \(\displaystyle{1\over f^2}\) intégrable. Montrer que \(x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{1\over f^2(t)}\,dt\) est également solution de \((1)\) (?).

3. Montrer que si \(f\) solution de \((E)\) vérifie \(f(0)=f'(0)=1\) alors \(\displaystyle{1\over f^2}\) est intégrable.

[oraux/ex2901] centrale PSI 2005 Soit \(E\) l’ensemble des \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)-(1+x^4)f(x)=0\).

1. Montrer que \(E\) contient une unique fonction \(f_0\) telle que \(f_0(0)=1\) et \(f_0'(0)=1\).

2. Montrer que \(f_0^2\) est convexe.

3. Montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(f_0(t)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/f_0^2\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(f_1:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f_0(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f_0^2(t)}\).

5. Montrer que \(f_1\in E\).

6. Montrer que \(f_1'\geqslant 0\) et que \(f_1\) est bornée.

7. Quels sont les éléments bornés de \(E\) ?

[oraux/ex5086] polytechnique MP 2012

1. Soient \(y \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R})\), \(a\in\mathbf{R}^+\), \(g \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R}^+)\) et \(G : t \mapsto \displaystyle\int_0^t g(s)\,ds\). On suppose que \(\forall t \in \mathbf{R}^+\), \(y(t) \leqslant a+\displaystyle\int_0^t y(s)\,g(s)\,ds\). Montrer que \(\forall t \in \mathbf{R}^+, \; y(t) \leqslant a \,e^{G(t)}.\)

2. Soit \(f \in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) de limite \(1\) en \(+\infty\) et dont la dérivée est intégrable sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(h\) une solution maximale de l’équation différentielle \(x''(t)+f(t)\,x(t)=0\). Montrer que \(h\) et \(h'\) sont bornées.

[planches/ex1115] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \(y''=x^4y\) (?).

1. Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. On admet que \(1/f^2\) est définie et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(g:x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f(t)^2}\) est aussi solution de l’équation étudiée.

3. Montrer le résultat admis dans la question précédente.