Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3693] mines PSI 2018

1. Soit \(y:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue et \(c\in\mathbf{R}\) tels que \(\forall x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c+\displaystyle\int_a^x\varphi(t)y(t)\,dt\).

   Montrer que, pour tout \(x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_a^x\varphi(t)\,dt\right)\).

2. Soit \(q\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^1\) de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), croissante, et \(f\) une solution de l’équation \(f''+qf=0\). Montrer que \(f\) est bornée.

[concours/ex2908] centrale M 1994 Soient \(I\) un intervalle réel, \(p\) et \(q\) des applications continues définies sur \(I\) et à valeurs réelles. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\). Trouver une condition portant sur les fonctions \(p\) et \(q\) pour que \((E)\) admette sur \(I\) deux solutions \(u\) et \(v\) non nulles telles que pour tout \(x\), on ait : \(v(x)=xu(x)\).

Application : résoudre, sur \(\left]0,+\infty\right[\), puis sur \(\left[0,+\infty\right[\), l’équation : \[x^2y''+x(1-2x)y'+\left(x^2-x-{1\over4}\right)y=x^{5/2}.\]

[planches/ex0925] ens PC 2013 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telle que \(f(x)\rightarrow\ell>0\) quand \(x\rightarrow+\infty\), et \((*)\) : \(y''+fy=0\). Soit \(y:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) solution de \((*)\) telle que \(y(0)=0\).

1. Que dire si \(y'(0)=0\) ?

2. On suppose \(y'(0)>0\). Montrer qu’il existe \(t>0\) tel que \(y'(t)=0\).

3. Montrer que \(y\) a une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex2949] ens paris MP 2008 Soit \(g\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+^*,\mathbf{R}_+^*)\). On suppose qu’il existe \(m>0\) tel que \(g\geqslant m\). Soit \(f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de : \(y''+gy=0\).

1. Montrer que \(f\) admet une infinité de zéros.

2. On suppose \(g\) croissante. Montrer que \(f\) est majorée au voisinage de \(+\infty\).

[concours/ex4064] polytechnique P 1990 Conditions nécessaires et suffisantes sur les fonctions \(p\) et \(q\), supposées continues sur \(\mathbf{R}\), pour que l’équation différentielle \[x''+p(t)x'+q(t)x=0\] admette deux solutions, \(x_1\) et \(x_2\), telles que :

1. \(\forall t\in\mathbf{R}^*\quad x_1(t)\neq0\) ;

2. \(\forall t\in\mathbf{R}\quad x_2(t)=tx_1(t)\).