Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7278] centrale PC 2021

1. Soit \(g\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(g''\leqslant 0\).

   Montrer que, pour tout \((t_0,t)\in\mathbf{R}^2\), \(g(t)\leqslant g(t_0)+(t-t_0)g'(t_0)\).

2. Soit \(a>0\). Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(q(t)\geqslant a\). Soit \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est pas majoré.

[concours/ex2908] centrale M 1994 Soient \(I\) un intervalle réel, \(p\) et \(q\) des applications continues définies sur \(I\) et à valeurs réelles. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\). Trouver une condition portant sur les fonctions \(p\) et \(q\) pour que \((E)\) admette sur \(I\) deux solutions \(u\) et \(v\) non nulles telles que pour tout \(x\), on ait : \(v(x)=xu(x)\).

Application : résoudre, sur \(\left]0,+\infty\right[\), puis sur \(\left[0,+\infty\right[\), l’équation : \[x^2y''+x(1-2x)y'+\left(x^2-x-{1\over4}\right)y=x^{5/2}.\]

[oraux/ex2949] ens paris MP 2008 Soit \(g\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+^*,\mathbf{R}_+^*)\). On suppose qu’il existe \(m>0\) tel que \(g\geqslant m\). Soit \(f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de : \(y''+gy=0\).

1. Montrer que \(f\) admet une infinité de zéros.

2. On suppose \(g\) croissante. Montrer que \(f\) est majorée au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex0925] ens PC 2013 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telle que \(f(x)\rightarrow\ell>0\) quand \(x\rightarrow+\infty\), et \((*)\) : \(y''+fy=0\). Soit \(y:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) solution de \((*)\) telle que \(y(0)=0\).

1. Que dire si \(y'(0)=0\) ?

2. On suppose \(y'(0)>0\). Montrer qu’il existe \(t>0\) tel que \(y'(t)=0\).

3. Montrer que \(y\) a une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_+\).

[concours/ex0100] polytechnique MP 1996 Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) et \(A\) (resp. \(B\)) une application \(C^1\) (resp. \(C^0\)) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+A(x)y'+B(x)y=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(y_2=xy_1\).

Résoudre \(y''+2xy'+(1+x^2)y=xe^{-x^2/2}\).