Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2908] centrale M 1994 Soient \(I\) un intervalle réel, \(p\) et \(q\) des applications continues définies sur \(I\) et à valeurs réelles. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\). Trouver une condition portant sur les fonctions \(p\) et \(q\) pour que \((E)\) admette sur \(I\) deux solutions \(u\) et \(v\) non nulles telles que pour tout \(x\), on ait : \(v(x)=xu(x)\).

Application : résoudre, sur \(\left]0,+\infty\right[\), puis sur \(\left[0,+\infty\right[\), l’équation : \[x^2y''+x(1-2x)y'+\left(x^2-x-{1\over4}\right)y=x^{5/2}.\]

[oraux/ex3050] centrale MP 2009 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((H)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour qu’il existe deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) de \((H)\) telles que \(x_2=xy_1\) et \(y_1\neq0\).

2. Déterminer alors toutes les solutions de \((H)\).

[planches/ex0925] ens PC 2013 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telle que \(f(x)\rightarrow\ell>0\) quand \(x\rightarrow+\infty\), et \((*)\) : \(y''+fy=0\). Soit \(y:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) solution de \((*)\) telle que \(y(0)=0\).

1. Que dire si \(y'(0)=0\) ?

2. On suppose \(y'(0)>0\). Montrer qu’il existe \(t>0\) tel que \(y'(t)=0\).

3. Montrer que \(y\) a une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_+\).

[concours/ex5307] ens paris MP 2007 Soient \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\) et \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) strictement croissante telles que \(f''+gf=0\).

1. Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est mas majoré.

2. Montrer que \(f\) est bornée au voisinage de \(+\infty\).

[concours/ex6044] centrale MP 2007 Soient \(m\in\mathbf{R}_+^*\) et \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(q(t)\geqslant m\). On note \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\).

1. Montrer qu’il existe \(p\), \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^1\) avec \(p>0\) telles que \(f=p\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits g\) et \(f'=p\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits g\).

2. Exprimer \(g'\) en fonction de \(g\) et \(q\).

3. En déduire que \(g\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\mathbf{R}_+\) sur \(g(\mathbf{R}_+)\).

4. Montrer que \(f\) s’annule une infinité de fois.