Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4988] mines MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \(y\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^2\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle, telle que \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est fini.

[concours/ex3297] ens cachan M 1993 Soit \(y\) une solution non nulle d’une équation différentielle linéaire à coefficients continus \((e)\) : \(y''+ay'+by=0\). Montrer que si \(y\) s’annule au moins deux fois, il existe \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(y\) s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\) mais ne s’annule pas sur \(\left]\alpha,\beta\right[\). Montrer que si \(z\) est une solution de \((E)\) indépendante de \(y\), \(z\) s’annule une fois et une seule entre \(\alpha\) et \(\beta\).

[oraux/ex2884] centrale MP 2005

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation \(ay''+by'+cy=0\) admet-elle deux solutions \(y_1\) et \(y_1\) vérifiant \(y_1y_2=1\) ?

2. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((x-1)y''(x)+xy'(x)-4y(x)=0\). Montrer que la condition précédente est réalisée. Étudier les solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex4013] centrale PC 2018 (avec Python)

Soit \((E)\) : \(x''(t)+p(t)x'(t)+q(t)x(t)=0\).

1. On prend \(p(t)=\displaystyle{t\over1+t^2}\) et \(q(t)=\displaystyle{-1\over1+t^2}\). Ainsi \((E)\) devient \((1+t^2)x''+tx'-x=0\).

   1. Représenter sur \([0,5]\) les solutions \((f,g)\) de \((E)\) vérifiant \((f(0),f'(0))=(1,0)\) et \((g(0),g'(0))=(0,1)\).

   2. En déduire une solution évidente.

   3. Montrer que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0.

      On a \(g(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_nt^{2n}\). Trouver une relation de récurrence entre les \(c_n\) et en déduire \(g\).

   4. Montrer que \((E)\) possède deux solutions inverses l’une de l’autre.

2. On suppose maintenant que \((E)\) admet deux solutions \(u\) et \(v\) avec \(v=1/u\). Exprimer \(p\) et \(q\) en fonction de \(u\). En déduire une relation entre \(p\) et \(q\).

[planches/ex1038] ens MP 2014 Soient \(k\in\mathbf{N}\) et l’équation différentielle \((1-t^2)x''-2tx'+k(k+1)x=0\).

1. Montrer que cette équation admet une solution \(x_k\) non nulle, sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que toute solution de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \([-1,1]\) est proportionnelle à \(x_k\).