Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2393] mines M 1995 Soient \(f\) et \(g\) continues de \([a,b]\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbf{R}_-\). Montrer que l’équation différentielle \(y''+f(x)y=g(x)\) possède une et une seule solution sur \([a,b]\) vérifiant \(y(a)=y(b)=0\).

[oraux/ex3009] ens PC 2009 Soient \((p,q)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) avec \(q\leqslant 0\) et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=a\) et \(f(1)=b\).

[planches/ex4986] mines MP 2019 Soient \(u\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y''+(1+u)y=0\). Soit, pour \(x\in\mathbf{R}_+\), \(g(x)=f(x)+\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)u(t)f(t)\,dt\).

1. Former une équation différentielle linéaire vérifiée par \(g\).

2. Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|u(t)f(t)|\,dt\).

3. Montrer que \(f\) est bornée.

[oraux/ex3041] mines PC 2009 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(u\) et \(v\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\).

1. Montrer que les zéros de \(v\) sont isolés.

2. Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(v\), \(u\) s’annule exactement une fois.

[planches/ex2137] mines MP 2017 Soient \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(y\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\) telle que \(y''-qy=f\) et \((y(0),y(1))=(a,b)\).