Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2926] mines PSI 2006 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) intégrable sur \(\mathbf{R}_+\) et \((E)\) : \(y''+qy=0\). Montrer que si \(f\) est une solution bornée de \((E)\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0\). En déduire que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex1073] tpe PSI 2015 Soit l’équation différentielle \[(E)\quad y''+f(x)y=0,\] où \(f\) est continue et intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Montrer que si \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions de \((E)\) alors \(y_1'y_2-y_2'y_1\) est constante.

2. Montrer que si \(y\) est une solution de \(E\) bornée sur \(\mathbf{R}\) alors \(y'(x)\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(+\infty\), puis montrer que cette limite est nulle.

3. Montrer que \((E)\) admet une solution non bornée.

[concours/ex4169] mines M 1990 Soit \(f\in\mathscr{C}(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|f\right|\) converge. L’équation \(y''+fy=0\) a-t-elle toutes ses solutions bornées ?

[concours/ex0283] mines MP 1996 On considère une application continue \(p:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}p(t)\,dt\) converge et l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-p(x)y=0\).

1. Montrer que si \(y\) est une solution bornée de \(E\), alors \(y'\) admet une limite finie, que l’on déterminera, en \(+\infty\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[oraux/ex3046] centrale MP 2009 Soit \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) intégrable. Montrer que l’équation \(y''+by=0\) possède des solutions non bornées.