Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0925] ens PC 2013 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telle que \(f(x)\rightarrow\ell>0\) quand \(x\rightarrow+\infty\), et \((*)\) : \(y''+fy=0\). Soit \(y:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) solution de \((*)\) telle que \(y(0)=0\).

1. Que dire si \(y'(0)=0\) ?

2. On suppose \(y'(0)>0\). Montrer qu’il existe \(t>0\) tel que \(y'(t)=0\).

3. Montrer que \(y\) a une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_+\).

[planches/ex0963] centrale PSI 2013 Soient \(I\subset\mathbf{R}\) un intervalle, \(A\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+Ay'+By=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(\forall x\in I\), \(y_2(x)=xy_1(x)\).

[concours/ex4064] polytechnique P 1990 Conditions nécessaires et suffisantes sur les fonctions \(p\) et \(q\), supposées continues sur \(\mathbf{R}\), pour que l’équation différentielle \[x''+p(t)x'+q(t)x=0\] admette deux solutions, \(x_1\) et \(x_2\), telles que :

1. \(\forall t\in\mathbf{R}^*\quad x_1(t)\neq0\) ;

2. \(\forall t\in\mathbf{R}\quad x_2(t)=tx_1(t)\).

[concours/ex5307] ens paris MP 2007 Soient \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\) et \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) strictement croissante telles que \(f''+gf=0\).

1. Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est mas majoré.

2. Montrer que \(f\) est bornée au voisinage de \(+\infty\).

[oraux/ex5532] mines PC 2012 Soient \(\varphi\in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R}^{+*})\) croissante et \((E)\) l’équation \((E)\) : \(x''(t)+\varphi(t)\, x(t)=0\). Montrer que \(x\) est bornée.

Indication : On multipliera par \(x'/\varphi\).

[oraux/ex3153] mines MP 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''=(x^4+1)y\).

1. Montrer que cette équation possède une unique solution \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. Montrer que \(g=f^2\) est convexe.

3. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/g\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

5. Montrer que \(x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over g(t)}\) est également solution de \((E)\).

[planches/ex1115] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \(y''=x^4y\) (?).

1. Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. On admet que \(1/f^2\) est définie et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(g:x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f(t)^2}\) est aussi solution de l’équation étudiée.

3. Montrer le résultat admis dans la question précédente.

[oraux/ex2901] centrale PSI 2005 Soit \(E\) l’ensemble des \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)-(1+x^4)f(x)=0\).

1. Montrer que \(E\) contient une unique fonction \(f_0\) telle que \(f_0(0)=1\) et \(f_0'(0)=1\).

2. Montrer que \(f_0^2\) est convexe.

3. Montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(f_0(t)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/f_0^2\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(f_1:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f_0(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f_0^2(t)}\).

5. Montrer que \(f_1\in E\).

6. Montrer que \(f_1'\geqslant 0\) et que \(f_1\) est bornée.

7. Quels sont les éléments bornés de \(E\) ?

[planches/ex1114] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \[(1)\quad y''=(1+x^4)y.\]

1. Montrer que \((1)\) possède une unique solution \(y\) telle que \(y(0)=y'(0)=1\).

2. Soit \(f\) une solution de \((1)\). On suppose \(\displaystyle{1\over f^2}\) intégrable. Montrer que \(x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{1\over f^2(t)}\,dt\) est également solution de \((1)\) (?).

3. Montrer que si \(f\) solution de \((E)\) vérifie \(f(0)=f'(0)=1\) alors \(\displaystyle{1\over f^2}\) est intégrable.

[oraux/ex3141] polytechnique MP 2011 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) de limite nulle en \(+\infty\) et de dérivée intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que toutes les solutions de l’équation différentielle \(y''+(1+f(t))y=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex5086] polytechnique MP 2012

1. Soient \(y \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R})\), \(a\in\mathbf{R}^+\), \(g \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R}^+)\) et \(G : t \mapsto \displaystyle\int_0^t g(s)\,ds\). On suppose que \(\forall t \in \mathbf{R}^+\), \(y(t) \leqslant a+\displaystyle\int_0^t y(s)\,g(s)\,ds\). Montrer que \(\forall t \in \mathbf{R}^+, \; y(t) \leqslant a \,e^{G(t)}.\)

2. Soit \(f \in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) de limite \(1\) en \(+\infty\) et dont la dérivée est intégrable sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(h\) une solution maximale de l’équation différentielle \(x''(t)+f(t)\,x(t)=0\). Montrer que \(h\) et \(h'\) sont bornées.

[planches/ex8628] centrale PSI 2022 (avec Python)

Soit \(q:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}\) continue. On s’intéresse à l’équation différentielle \((E_{a,b})\) : \(y''+(1+q)y=0\), \(y(0)=a\), et \(y'(0)=b\).

1. Tracer avec Python les solutions pour \((a,b)\in\{(1,0),(0,1)\}\) et pour les fonctions \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over\sqrt{1+t}}\), \(q:t\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over t}\right)\), \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over1+t^2}\). et \(q:t\longmapsto\displaystyle{-t^2\over2(1+t^2)}\). On tracera ces solutions sur l’intervalle \([0,50]\).

   Pour quelles fonctions \(q\) la solution semble-t-elle bornée ?

2. On suppose dans cette question que \(q\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(z:x\longmapsto\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)f(t)\,dt\) avec \(f\) continue, intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(z''+z\).

3. Soit \(y\) une solution de \((E_{a,b})\).

   Montrer que, pour \(t\in\mathbf{R}_+\), \(0\leqslant|y(t)|\leqslant|a|+|b|+\displaystyle\int_0^x|q(t)|\,|y(t)|\,dt\).

   En déduire que \(y\) est bornée.

4. La condition \(q\) intégrable est-elle suffisante/nécessaire pour que les solutions de \((E_{a,b})\) soient bornées ?

[planches/ex1074] tpe PSI 2015 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\Phi:E\rightarrow E\) qui à \(f\) associe \(g\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(g(x)=f'(x)-xf(x)\). Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\), puis \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\mathbin{\circ}\Phi\).

[planches/ex1018] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+a(x)y=0\).

1. Montrer que les wronskiens relatifs à \((E)\) vérifient une équation différentielle du premier ordre.

2. Soit \(T>0\). Montrer que les trois énoncés suivants sont équivalents :

   1. \((E)\) possède un wronskien \(T\)-périodique ;

   2. tous les wronskiens de \((E)\) sont périodiques ;

   3. la fonction \(a\) est \(T\)-périodique de valeur moyenne nulle.

[oraux/ex3042] mines PC 2009 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\), \(k\in\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) : \(y''+\varphi(x)y'-ky=0\). On suppose que \(f\) est une solution de \((E)\) telle que \(f(a)=f(b)=0\). Montrer que \(f\) est identiquement nulle.

[oraux/ex5392] mines MP 2012 Soit \(f\,:\;\mathbf{R}^{+*}\to\mathbf{R}\) continue. On considère l’équation différentielle \((E)\) \(y''=f\,y\).

1. Montrer que les zéros des solutions non nulles sont isolés.

2. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \((E)\). Montrer : \[\int_\alpha^\beta\left|f(t)\right|\,dt>\frac4{\beta-\alpha}.\]

[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.

[oraux/ex2942] centrale PC 2006 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et, pour \(f\in E\), \(\mu(f)\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\mu(f)(x)=f'(x)-xf(x).\]

1. Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(E\), déterminer son noyau.

2. L’application \(\mu\) est-elle surjective ?

3. Si \(g\in E\), déterminer \(\mu^{-1}(g)\).

4. Déterminer \(\mu\mathbin{\circ}\mu\).

5. Résoudre : \(y''-2xy'+(x^2-1)y=0\).

6. Si \(n\in\mathbf{N}^*\), résoudre \(\mu^{(n)}(f)=0\).

[oraux/ex3012] polytechnique MP 2009 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\) et \(f\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \(u\) dans \(\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que : \(u''+fu=0\) et \(u(a)=u(b)=0\). Montrer : \(\displaystyle\int_a^b|f(t)|\,dt\geqslant(b-a)/4\).

[examen/ex0458] centrale MP 2023 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty([0,\pi],\mathbf{R})\) et \(F=\{f\in E,\ f(0)=f(\pi)=0\}\). Soient \(\varphi,q\in E\), la fonction \(q\) étant positive. On note \(\alpha\) une primitive de \(\varphi\). On pose \(D(y)=y''+\varphi y'-qy\) et \(L(y)=-e^\alpha D(y)\) pour tout \(y\in E\), et \(\langle y,z\rangle=\displaystyle\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,\mathrm{d}x\) pour tous \(y\), \(z\in F\).

1. Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.

2. Montrer que \(\langle\ ,\ \rangle\) est un produit scalaire sur \(F\).

3. Soit \(h\in E\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(f_0\in F\) telle que \(D(f_0)=h\).