[oraux/ex3122] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(q\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).
[oraux/ex3122]
Si \(f\) est solution de \(E\), montrer que \(f^2\) est convexe.
Montrer que toute solution non identiquement nulle de \((E)\) s’annule au plus une fois.
[concours/ex1714] polytechnique MP 1999 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, positive et \(y\) solution de \((E)\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).
[concours/ex1714]
Montrer que \(y^2\) est convexe. Peut-elle être bornée ?
On suppose que \(y\) n’est pas nulle. Montrer que \(y\) et \(y'\) s’annulent au plus une fois.
Montrer que \(\displaystyle{y^2(x)\over x}\) a une limite finie en \(+\infty\).
[planches/ex0966] centrale PSI 2013 (avec Maple)
[planches/ex0966]
Maple
Soient \(g:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) continue et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-2y'+y=g\).
Quelle est la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) ?
Déterminer cet ensemble avec \(g:x\mapsto1/x^2\). Les solutions obtenues sont-elles prolongeables par continuité à droite en 0 ?
Déterminer l’ensemble des solutions de \((E)\) pour \(g:x\mapsto-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\). Les solutions obtenues sont-elles prolongeables par continuité à droite en 0 ? Les solutions obtenues sont-elles prolongeables de classe \(\mathscr{C}^1\) en 0 ?
Soit \(S\) l’ensemble des solutions de classe \(\mathscr{C}^0\) de \((E)\) et \(S_1\) le sous-ensemble de \(S\) formé des solutions de classe \(\mathscr{C}^1\). Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(g\) pour que \(S=S_1\).
Dans cette question, \(g=g_\alpha:x\mapsto x^\alpha\). Déterminer les \(\alpha\) pour lesquels \(S_1=S\).
Montrer qu’il existe une unique solution de \((E)\) telle que \(y(0)=y'(0)=0\).
[planches/ex9271] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(p:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, non identiquement nulle, \(\pi\)-périodique et telle que \(\displaystyle\int_0^{\pi}p(t)\mathrm{d} t \geqslant 0\) et \(\displaystyle\int_0^\pi |p(t)| \mathrm{d} t\leqslant\frac{\pi}{4}\).
[planches/ex9271]
Montrer que l’équation \(u''+pu=0\) n’admet pas de solution \(u\) non nulle sur \(\mathbf{R}\) telle qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) tel que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t+\pi)=\lambda\, u(t).\)
[oraux/ex5642] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(\pi\)-périodique, \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).
[oraux/ex5642]
Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E)\) telle que \(y_1(0)=1\) et \(y'_1(0)=0\) et une unique solution \(y_2\) de \((E)\) telle que \(y_2(0)=0\) et \(y'_2(0)=1\).
Montrer que \((y_1,y_2)\) est une base de l’espace vectoriel \(S\) des solutions de \((E)\).
Montrer que \(y_1\) est paire et \(y_2\) impaire.
Montrer que la fonction \(y_1\,y'_2-y'_1\,y_2\) est constante.
Pour \(y\in S\), on note \(f(y)\,:\;t\mapsto y(t+\pi)\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(S\).
Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \((y_1,y_2)\).
Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \(X^2-2a\,X+1\), pour un certain réel \(a\).
On suppose \(a=1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(\pi\)-périodique non triviale.
On suppose \(a=-1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(2\pi\)-périodique non triviale.
On suppose \(|a|>1\). Montrer que \(f\) admet deux vecteurs propres linéairement indépendants. Montrer que ce sont des fonctions non bornées. En déduire les solutions bornées de \((E)\).
[planches/ex2138] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation différentielle \(y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0\) admet-elle une base formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire ?
[planches/ex2138]
[concours/ex5791] mines PSI 2007 Soit \((E)\) : \(y''=a(x)y'+b(x)y\) où \(a\), \(b\) sont continues sur \(\mathbf{R}\). Montrer qu’il existe un système fondamental de solutions de \((E)\) formé d’une fonction paire et d’une fonction impaire si et seulement si \(a\) est impaire et \(b\) paire.
[concours/ex5791]
[oraux/ex3097] mines PC 2010 Soient \(a\), \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((f,g)\) un système fondamental de solutions de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\). On suppose \(f\) paire et \(g\) impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) est paire.
[oraux/ex3097]
[planches/ex4991] mines MP 2019 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{C}\), \(E\) l’espace des solutions de \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\). Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{C}^*\) et \(y\in E\setminus\{0\}\) tels que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y(t+1)=\lambda y(t)\).
[planches/ex4991]
[planches/ex1083] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et de période \(\pi\). On note \(E\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).
[planches/ex1083]
On note \(f:\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\rightarrow\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\) l’application qui à \(\varphi\) associe \(x\mapsto\varphi(x+\pi)\).
Montrer que \(E\) est un espace vectoriel réel sont on précisera la dimension.
Montrer que \(f\) induit un endomorphisme de \(E\) noté \(\tilde f\).
Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\tilde f)=1\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|<2\). Montrer que \(E\) est constitué de fonctions bornées.
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|>2\). Montrer que la fonction nulle est la seule fonction bornée de \(E\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|=2\). Montrer que \(E\) contient une fonction bornée non nulle.
Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), nulle en \(a\) et \(b\) et strictement positive sur \(\left]a,b\right[\). On admet que, pour une telle fonction, \(\displaystyle\int_a^b{|\varphi''(t)|\over\varphi(t)}\,dt>{4\over b-a}\).
Montrer que si \(q\) est positive, \(q\) n’est pas la fonction nulle et \(\displaystyle\int_0^\pi q(t)\,dt\leqslant{4\over\pi}\), alors \(E\) ne contient que des fonctions bornées.
[planches/ex7679] ens PSI 2022 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(2\pi\)-périodique. L’objectif de l’exercice est d’étudier les solutions bornées de l’équation \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(y_1\) la solution de \((E)\) vérifiant les conditions \(y_1(0)=1\) et \(y_1'(0)=0\) et \(y_2\) la solution telle que \(y_2(0)=0\) et \(y_2'(0)=1\).
[planches/ex7679]
Montrer que la fonction \(y_1\) est paire et que la fonction \(y_2\) est impaire.
Soient \(W=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(y_1,y_2)\) et \(A:y\in W\longmapsto(x\longmapsto y(\pi+x))\). Déterminer la matrice de \(A\) dans la base \((y_1,y_2)\) puis calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\).
Avec la première question, calculer \(A^{-1}\).
À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, montrer que \(y_1(\pi)=y_2'(\pi)\).
Soit \(T\) la trace de \(A\). Montrer que, si \(|T|<2\), les solutions de \((E)\) sont bornées puis que, si \(|T|=2\), il existe une solution de \((E)\) non nulle et bornée.
[oraux/ex3003] ens lyon MP 2009 Soient \(T>0\), \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique, \(S\) l’espace des solutions réelles de \(y''+qy=0\) sur \(\mathbf{R}\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) l’élément de \(S\) tel que \(y_1(0)=0\), \(y_1'(0)=1\) (resp. \(y_2(0)=1\), \(y_2'(0)=0\)).
[oraux/ex3003]
Montrer que si \(f\) est dans \(S\), il en est de même de \(f_T:x\mapsto f(x+T)\). On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(S\) que à \(f\in S\) associe \(f_T\) et \(A\) sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\).
Calculer le déterminant de \(A\).
On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|<2\). Montrer que tout élément de \(S\) est borné sur \(\mathbf{R}\).
On suppose \(q\geqslant 0\) et \(q\) non identiquement nulle. Montrer que tout élément de \(S\) s’annule au moins deux fois sur \(\mathbf{R}\).
On suppose que \(q\) est positive et que \(\displaystyle{1\over T}\int_0^Tq<4\). Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).
Indication : on admettra que si \(f\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f(a)=f(b)=0\) alors \(\displaystyle\int_a^b\left|{f''\over f}\right|>\displaystyle{4\over b-a}\).
[planches/ex9044] ccinp PC 2022 Soit \(q\) une fonction continue et \(T\)-périodique de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On considère l’équation différentielle \((E_q)\) : \(y''+qy=0\).
[planches/ex9044]
On suppose que \(q\) est la fonction constante égale à 1. Montrer que les solutions de \((E_1)\) sont toutes bornées.
On rappelle qu’une base de l’espace \(S_q\) des solutions de \((E_q)\) est \((y_1,y_2)\) où \(y_1\) et \(y_2\) sont les solutions de \((E_q)\) telles que \((y_1(0)=1,\ y_1'(0)=0)\) et \((y_2(0)=0,\ y_2'(0)=1)\). Soit \(F\) l’application qui à \(y\in S_q\) associe la fonction \(t\longmapsto y(t+T)\).
Montrer que \(F\) est un endomorphisme de \(S_q\) et que sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\) est \(A=\pmatrix{y_1(T)&y_2(T)\cr y_1'(T)&y_2'(T)}\).
Montrer que la fonction \(W:t\longmapsto y_1(t)y_2'(t)-y_1'(t)y_2(t)\) est constante.
Montrer que \(\chi_A(X)=X^2-\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)X+1\).
On suppose que \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)|<2\). Montrer que \(\chi_A\) admet deux racines complexes conjuguées \(\lambda\) et \(\overline\lambda\). Montrer qu’il existe deux solutions \(z_1\) et \(z_2\) de \((E_q)\), à valeurs dans \(\mathbf{C}\), telles que \(F(z_1)=\lambda z_1\) et \(F(z_2)=\overline\lambda z_2\).
[planches/ex1134] tpe PC 2016 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) centré en zéro, \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(I,\mathbf{R})\) une fonction paire et \((E)\) l’équation différentielle \(y''(x)+\varphi(x)y(x)=0\). Soit \(y\) une solution de \((E)\). Montrer que \(y\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et que la fonction \(x\mapsto y(-x)\) est également solution de \((E)\).
[planches/ex1134]
[concours/ex3236] mines M 1993 Soit \(u\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) et \(f\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+\). On suppose qu’il existe une constante \(A\) telle que, pour tout \(x\) de \(\mathbf{R}_+\), \[u(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)u(t)\,dt.\] Montrer que \[u(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_0^xf(t)\,dt\right).\] Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+y(1+g(t))=0\), où \(g\) est une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\bigl|g(t)\bigr|\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(E\) est bornée.
[concours/ex3236]
[planches/ex0928] polytechnique MP 2013 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et intégrable. Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+(1+q(t))y=0\) est bornée sur \(\mathbf{R}\).
[planches/ex0928]
[planches/ex1066] centrale PSI 2015 Soit \(a\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}|a(x)|\,dx\) existe.
[planches/ex1066]
A-t-on nécessairement \(a(x)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow+\infty}}0\) ?
Soit \(f\) vérifiant sur \(\mathbf{R}_+\) : \(y''(x)+(1+a(x))y(x)=0\). Soit \[g:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f(x)+\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)a(t)f(t)\,dt.\] Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}_+\), puis que \(g''+g=0\).
Montrer qu’il existe \(c\in\mathbf{R}_+\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|a(t)|\,|f(t)|\,dt\).
Montrer que toutes les solutions de \(y''+(1+a)y=0\) sont bornées.
[oraux/ex3049] centrale MP 2009 Soit \(I\) un intervalle ouvert et non vide de \(\mathbf{R}\).
[oraux/ex3049]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+Ay'+By=0\).
Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\) et \(S\) un segment de \(I\). Montrer que \(f\) s’annule un nombre fini de fois sur \(S\).
Soient \(f\) et \(g\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).
Soient \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in I\), \(p(x)<q(x)\). Soient \(f\), \(g\in\mathscr{C}^2(I,\mathbf{R})\) non identiquement nulles et telles que : \(f''+pf=0\) et \(g''+qg=0\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).
[oraux/ex3074] ens lyon MP 2010 Soient \(p\) et \(q\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(p\leqslant q\) et \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que \(f''+pf=0\).
[oraux/ex3074]
Montrer que les zéros de \(f\) sont isolés.
Soient \(x_1<x_2\) deux zéros consécutifs de \(f\) et \(g\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(g''+qg=0\). Montrer que \(g\) s’annule sur \([x_1,x_2]\).
[equadiff/ex0094] Soient deux fonctions \(q_1\) et \(q_2\) définies et continues sur \(I\) et telles que \(q_1<q_2\). On considère les équations \[(E_1)\quad x''+q_1(t)x_1=0\qquad(E_2)\quad x''+q_2(t)x_1=0\,.\] Soit \(u_1\) une solution non nulle de \((E_1)\). On suppose que \(u_1\) s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\), avec \(\alpha<\beta\).
[equadiff/ex0094]
Montrer que toute solution \(u_2\) de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]\alpha,\beta\right[\).
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