Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3046] centrale MP 2009 Soit \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) intégrable. Montrer que l’équation \(y''+by=0\) possède des solutions non bornées.

[planches/ex1073] tpe PSI 2015 Soit l’équation différentielle \[(E)\quad y''+f(x)y=0,\] où \(f\) est continue et intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Montrer que si \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions de \((E)\) alors \(y_1'y_2-y_2'y_1\) est constante.

2. Montrer que si \(y\) est une solution de \(E\) bornée sur \(\mathbf{R}\) alors \(y'(x)\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(+\infty\), puis montrer que cette limite est nulle.

3. Montrer que \((E)\) admet une solution non bornée.

[oraux/ex2800] centrale 2003 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une application continue et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), que dire de \(y'\) en \(+\infty\) ?

2. Montrer qu’il existe des solutions de \((E)\) non bornées.

[concours/ex0283] mines MP 1996 On considère une application continue \(p:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}p(t)\,dt\) converge et l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-p(x)y=0\).

1. Montrer que si \(y\) est une solution bornée de \(E\), alors \(y'\) admet une limite finie, que l’on déterminera, en \(+\infty\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex4987] mines MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Montrer que, si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), alors \(y'(t)\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{t\rightarrow+\infty}}0\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[concours/ex4169] mines M 1990 Soit \(f\in\mathscr{C}(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|f\right|\) converge. L’équation \(y''+fy=0\) a-t-elle toutes ses solutions bornées ?

[equadiff/ex0092] Soit \((E)\) l’équation \(x''+q(t)x=0\) où \(q\) est une fonction continue sommable sur \(\mathbf{R}_+\).

1. Montrer que le wronskien de deux solutions est constant.

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex6826] mines MP 2021 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(S\) l’ensemble des solutions de \(y''+fy=0\). On suppose \(f\) intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\in S\) et \(w=y_1y_2'-y_1'y_2\). Que peut-on dire de \(w\) ?

2. Montrer que \(S\) contient des fonctions non bornées.

[equadiff/ex0088] Montrer comment on peut résoudre une équation différentielle (d’Euler) de la forme \[(E)\quad x^2y''+axy'+by=0\] à l’aide du changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits|x|\).

[oraux/ex2913] ccp PC 2005 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \((1)\) l’équation différentielle : \(ax^2y''(x)+bxy'(x)+cy(x)=0\), dont on considérera les solutions sur \(\left]0,+\infty\right[\).

1. Justifier le changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\) et résoudre \((1)\).

2. Résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) suivant les valeurs de \(a\) : \(x^2y''(x)+xy'(x)+y(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\).

[equadiff/ex0880] Équation d’Euler

On considère : \[(E)\qquad x^2y''+a\,xy'+by=c(x),\] avec \(a\), \(b\in\mathbf{R}\). On pose \(x=\varepsilon e^t\) avec \(\varepsilon=\pm1\) et \(y(x)=z(t)\).

1. Montrer que l’équation différentielle en \(z\), transformée de \((E)\) par ce changement de variable, est à coefficients constants.

2. Résoudre par exemple \(x^2y''-5xy'+9y=x+1\).

[oraux/ex3071] tpe PC 2009 Résoudre : \(x^2y''+axy'+by=0\).

[oraux/ex5642] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(\pi\)-périodique, \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).

1. 1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E)\) telle que \(y_1(0)=1\) et \(y'_1(0)=0\) et une unique solution \(y_2\) de \((E)\) telle que \(y_2(0)=0\) et \(y'_2(0)=1\).

   2. Montrer que \((y_1,y_2)\) est une base de l’espace vectoriel \(S\) des solutions de \((E)\).

   3. Montrer que \(y_1\) est paire et \(y_2\) impaire.

   4. Montrer que la fonction \(y_1\,y'_2-y'_1\,y_2\) est constante.

2. Pour \(y\in S\), on note \(f(y)\,:\;t\mapsto y(t+\pi)\).

   1. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(S\).

   2. Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \((y_1,y_2)\).

   3. Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \(X^2-2a\,X+1\), pour un certain réel \(a\).

3. On suppose \(a=1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(\pi\)-périodique non triviale.

4. On suppose \(a=-1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(2\pi\)-périodique non triviale.

5. On suppose \(|a|>1\). Montrer que \(f\) admet deux vecteurs propres linéairement indépendants. Montrer que ce sont des fonctions non bornées. En déduire les solutions bornées de \((E)\).

[examen/ex1420] polytechnique PSI 2024 On considère l’équation différentielle \((E)\): \(y''(t)+\varphi(t)y(t)=0\), avec \(\varphi\) continue \(2\pi\)-périodique et on note \(Sol\) l’ensemble des solutions de \((E)\) de classe \(\mathscr{C}^2\) à valeurs complexes.

1. Montrer qu’il existe \(y_1\in Sol\) telle que \(y_1(0)=1,\) \(y'_1(0)=0\), et \(y_2\in Sol\) telle que \(y_2(0)=0,y'_2(0)=1\).

   Montrer que toute solution de \((E)\) est combinaison linéaire de \(y_1\) et \(y_2\).

2. Pour \(y\in Sol\), on note \(\Psi(y)\) la fonction \(t\mapsto y(t+2\pi)\). Montrer que \(\Psi(y)\in Sol\).

   Déterminer la nature de l’application \(\Psi\).

3. Montrer que, si \(z\in Sol\) avec \(z\neq 0\) est telle que \(\forall t\in\mathbb{R}\), \(z(t+2\pi)=\lambda z(t)\) avec \(\lambda\in\mathbb{C}\), alors \(\lambda\) est racine du polynôme \(X^2-(y_1(2\pi)+y'_2(2\pi))X-y'_1(2\pi)y_2(2\pi)+y_1(2\pi)y'_2(2\pi)\). Étudier la réciproque.

4. Montrer que \(\lambda\) ne peut être nul puis que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits (\varphi)=1\).

[planches/ex7679] ens PSI 2022 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(2\pi\)-périodique. L’objectif de l’exercice est d’étudier les solutions bornées de l’équation \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(y_1\) la solution de \((E)\) vérifiant les conditions \(y_1(0)=1\) et \(y_1'(0)=0\) et \(y_2\) la solution telle que \(y_2(0)=0\) et \(y_2'(0)=1\).

1. Montrer que la fonction \(y_1\) est paire et que la fonction \(y_2\) est impaire.

2. Soient \(W=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(y_1,y_2)\) et \(A:y\in W\longmapsto(x\longmapsto y(\pi+x))\). Déterminer la matrice de \(A\) dans la base \((y_1,y_2)\) puis calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)\).

3. Avec la première question, calculer \(A^{-1}\).

4. À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, montrer que \(y_1(\pi)=y_2'(\pi)\).

5. Soit \(T\) la trace de \(A\). Montrer que, si \(|T|<2\), les solutions de \((E)\) sont bornées puis que, si \(|T|=2\), il existe une solution de \((E)\) non nulle et bornée.

[planches/ex1083] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et de période \(\pi\). On note \(E\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).

On note \(f:\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\rightarrow\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\) l’application qui à \(\varphi\) associe \(x\mapsto\varphi(x+\pi)\).

1. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel réel sont on précisera la dimension.

2. Montrer que \(f\) induit un endomorphisme de \(E\) noté \(\tilde f\).

3. Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\tilde f)=1\).

4. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|<2\). Montrer que \(E\) est constitué de fonctions bornées.

5. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|>2\). Montrer que la fonction nulle est la seule fonction bornée de \(E\).

6. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|=2\). Montrer que \(E\) contient une fonction bornée non nulle.

7. Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), nulle en \(a\) et \(b\) et strictement positive sur \(\left]a,b\right[\). On admet que, pour une telle fonction, \(\displaystyle\int_a^b{|\varphi''(t)|\over\varphi(t)}\,dt>{4\over b-a}\).

   Montrer que si \(q\) est positive, \(q\) n’est pas la fonction nulle et \(\displaystyle\int_0^\pi q(t)\,dt\leqslant{4\over\pi}\), alors \(E\) ne contient que des fonctions bornées.

[planches/ex4991] mines MP 2019 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{C}\), \(E\) l’espace des solutions de \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\). Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{C}^*\) et \(y\in E\setminus\{0\}\) tels que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y(t+1)=\lambda y(t)\).

[planches/ex9271] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(p:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, non identiquement nulle, \(\pi\)-périodique et telle que \(\displaystyle\int_0^{\pi}p(t)\mathrm{d} t \geqslant 0\) et \(\displaystyle\int_0^\pi |p(t)| \mathrm{d} t\leqslant\frac{\pi}{4}\).

Montrer que l’équation \(u''+pu=0\) n’admet pas de solution \(u\) non nulle sur \(\mathbf{R}\) telle qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) tel que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t+\pi)=\lambda\, u(t).\)

[oraux/ex3003] ens lyon MP 2009 Soient \(T>0\), \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique, \(S\) l’espace des solutions réelles de \(y''+qy=0\) sur \(\mathbf{R}\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) l’élément de \(S\) tel que \(y_1(0)=0\), \(y_1'(0)=1\) (resp. \(y_2(0)=1\), \(y_2'(0)=0\)).

1. Montrer que si \(f\) est dans \(S\), il en est de même de \(f_T:x\mapsto f(x+T)\). On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(S\) que à \(f\in S\) associe \(f_T\) et \(A\) sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\).

2. Calculer le déterminant de \(A\).

3. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|<2\). Montrer que tout élément de \(S\) est borné sur \(\mathbf{R}\).

4. On suppose \(q\geqslant 0\) et \(q\) non identiquement nulle. Montrer que tout élément de \(S\) s’annule au moins deux fois sur \(\mathbf{R}\).

5. On suppose que \(q\) est positive et que \(\displaystyle{1\over T}\int_0^Tq<4\). Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).

   Indication : on admettra que si \(f\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f(a)=f(b)=0\) alors \(\displaystyle\int_a^b\left|{f''\over f}\right|>\displaystyle{4\over b-a}\).

[planches/ex9044] ccinp PC 2022 Soit \(q\) une fonction continue et \(T\)-périodique de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On considère l’équation différentielle \((E_q)\) : \(y''+qy=0\).

1. On suppose que \(q\) est la fonction constante égale à 1. Montrer que les solutions de \((E_1)\) sont toutes bornées.

   On rappelle qu’une base de l’espace \(S_q\) des solutions de \((E_q)\) est \((y_1,y_2)\) où \(y_1\) et \(y_2\) sont les solutions de \((E_q)\) telles que \((y_1(0)=1,\ y_1'(0)=0)\) et \((y_2(0)=0,\ y_2'(0)=1)\). Soit \(F\) l’application qui à \(y\in S_q\) associe la fonction \(t\longmapsto y(t+T)\).

2. Montrer que \(F\) est un endomorphisme de \(S_q\) et que sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\) est \(A=\pmatrix{y_1(T)&y_2(T)\cr y_1'(T)&y_2'(T)}\).

3. Montrer que la fonction \(W:t\longmapsto y_1(t)y_2'(t)-y_1'(t)y_2(t)\) est constante.

4. Montrer que \(\chi_A(X)=X^2-\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)X+1\).

5. On suppose que \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)|<2\). Montrer que \(\chi_A\) admet deux racines complexes conjuguées \(\lambda\) et \(\overline\lambda\). Montrer qu’il existe deux solutions \(z_1\) et \(z_2\) de \((E_q)\), à valeurs dans \(\mathbf{C}\), telles que \(F(z_1)=\lambda z_1\) et \(F(z_2)=\overline\lambda z_2\).