Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2393] mines M 1995 Soient \(f\) et \(g\) continues de \([a,b]\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbf{R}_-\). Montrer que l’équation différentielle \(y''+f(x)y=g(x)\) possède une et une seule solution sur \([a,b]\) vérifiant \(y(a)=y(b)=0\).

[oraux/ex3119] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle ouvert non vide de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_+)\) et \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Soient \((E_1)\) : \(y''-a(x)y=0\) et \((E_2)\) : \(y''-a(x)y=b(x)\).

1. Soit \(y\) une solution de \((E_1)\). On suppose qu’il existe \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\) tel que \(y(x_1)=y(x_2)=0\). Calculer \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}y(x)^2a(x)\,dx\). Que dire de \(y\) ?

2. Soient \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\).

   1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E_2)\) telle que \(y_1(x_1)=0\) et \(y_1'(x_1)=1\).

   2. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_2\) de \((E_2)\) telle que \(y_2(x_1)=y_2(x_2)=0\).

[oraux/ex3009] ens PC 2009 Soient \((p,q)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) avec \(q\leqslant 0\) et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=a\) et \(f(1)=b\).

[examen/ex0104] mines PSI 2023 Soient \(u\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) intégrable sur \(\mathbf{R}^+\) et \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) telle que \(f''+(1+u)f=0\). Soit \(g:x\in\mathbf{R}^+\mapsto f(x)+\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)\,f(t)\,u(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Trouver une équation différentielle linéaire vérifiée par \(g\).

2. En déduire l’existence de \(c\) positif tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}^+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|f(t)\,u(t)|\,\mathrm{d}t\).

3. Montrer que \(f\) est bornée.

[planches/ex2137] mines MP 2017 Soient \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(y\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\) telle que \(y''-qy=f\) et \((y(0),y(1))=(a,b)\).

[planches/ex1026] centrale PSI 2014 Soient \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(a<b\) et \(f\), \(g\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose \(f>0\). On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-fy=g\).

1. Montrer que l’équation homogène associée à \((E)\) possède deux solutions \(u\) et \(v\) caractérisées par : \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).

2. Montrer que \((E)\) possède au plus une solution s’annulant en \(a\) et en \(b\).

   Indication : Considérer \(y_1\) et \(y_2\) deux telles solutions et \(h=y_2-y_1\). Remarquer que \(h^2\) est convexe.

3. Montrer que \((E)\) possède une solution s’annulant en \(a\) et \(b\) et en donner une expression en fonction de \(u\), \(v\), \(f\) et \(g\).

[planches/ex1101] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues d’un segment \([u,v]\) de \(\mathbf{R}\) à valeurs réelles \(\mathbf{R}\). Soit \(f:[u,v]\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de l’équation différentielle \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\). Montrer que \(f\) admet un nombre fini de zéros.

[planches/ex1022] centrale MP 2014 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) non vide et non réduit à un point, \(p\), \(q:I\rightarrow\mathbf{R}\) continues et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). On suppose \(q\neq0\). On étudie l’existence de deux solutions, notées \(y_1\) et \(y_2\) de \((E)\), inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire que \(y_1y_2=1\).

1. Si \(p\) et \(q\) sont constantes, donner une condition suffisante d’existence.

2. On considère \((E_1)\) : \(y''+\displaystyle{y'\over x}-{y\over4x^2}=0\) sur \(\left]1,+\infty\right[\) et \((E_2)\) : \(y''-\displaystyle{y'\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}-y{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)^2\over4}=0\) sur \(\mathbf{R}_+^*\). Trouver pour \((E_1)\) puis pour \((E_2)\) un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

   On revient à l’équation générale \((E)\) et on suppose qu’elle admet un couple de solutions inverses l’une de l’autre \((y_1,y_2)\). On note \(W\) le wronskien de \((y_1,y_2)\).

3. Montrer que \(y_1\) et \(y_2\) sont linéairement indépendantes. Qu’en déduit-on pour \(W\) ?

4. Exprimer \(W\) en fonction de \(y_1\).

5. Montrer que \(W'+pW=0\).

6. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((p,q)\) pour que \((E)\) possède un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

[planches/ex4988] mines MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \(y\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^2\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle, telle que \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est fini.

[planches/ex3378] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Montrer qu’il existe deux solutions \(f\), \(g\) de \(E\) vérifiant \(fg=1\) si et seulement si \(b\) est de classe \(\mathscr{C}^1\), \(b\leqslant 0\) et \(b'=-2ab\).