Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6515] polytechnique PC 2006 Soient \(f_1\) et \(f_2\) deux fonctions continues sur \(\mathbf{R}\) telles que \(f_2>f_1\), \((E_1)\) : \(y''+f_1y=0\), et \((E_2)\) : \(y''+f_2y=0\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) une solution non nulle de \((E_1)\) (resp. de \((E_2)\)), \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule sur \([\alpha,\beta]\).

[planches/ex1109] centrale MP 2016

1. Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_2\geqslant q_1\), \(u\) (resp. \(v\)) une solution non identiquement nulle de \(y_1''+q_1y=0\) (resp. \(y''+q_2y=0\)), \(a\) et \(b\) deux zéros consécutifs de \(u\). Montrer que soit \(v/u\) est constante sur \(\left]a,b\right[\), soit \(v\) s’annule sur \(\left]a,b\right[\).

2. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_-\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?

3. Soient \(c\) et \(d\) deux éléments de \(\mathbf{R}_+^*\) tels que \(c<d\), \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \([c^2,d^2]\). Que dire de l’ensemble des zéros d’une solution de \(y''+qy=0\) ?

[oraux/ex3049] centrale MP 2009 Soit \(I\) un intervalle ouvert et non vide de \(\mathbf{R}\).

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+Ay'+By=0\).

   1. Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\) et \(S\) un segment de \(I\). Montrer que \(f\) s’annule un nombre fini de fois sur \(S\).

   2. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).

2. Soient \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in I\), \(p(x)<q(x)\). Soient \(f\), \(g\in\mathscr{C}^2(I,\mathbf{R})\) non identiquement nulles et telles que : \(f''+pf=0\) et \(g''+qg=0\). Soit \((u,v)\in I^2\) tel que \(u<v\) et \(f(u)=f(v)=0\). Montrer que \(g\) possède un zéro sur \(\left]u,v\right[\).

[equadiff/ex0094] Soient deux fonctions \(q_1\) et \(q_2\) définies et continues sur \(I\) et telles que \(q_1<q_2\). On considère les équations \[(E_1)\quad x''+q_1(t)x_1=0\qquad(E_2)\quad x''+q_2(t)x_1=0\,.\] Soit \(u_1\) une solution non nulle de \((E_1)\). On suppose que \(u_1\) s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\), avec \(\alpha<\beta\).

Montrer que toute solution \(u_2\) de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]\alpha,\beta\right[\).

[concours/ex3081] polytechnique M 1993 Soit \(J\) l’intervalle \(\left]a,+\infty\right[\), \(q\) une application continue sur \(J\) à valeurs réelles. On suppose que : \[\int_a^{+\infty}\left|q(t)\right|\,dt\] converge. Montrer qu’il existe une solution, à valeurs complexes, de l’équation différentielle : \[x''+(1+q)x=0,\] telle que \(x(t)-e^{it}\) tende vers \(0\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2840] centrale 2004 Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues sur \(I=[a,b]\), telles que \(\forall x\in I\), \(r(x)\geqslant q(x)\). On considère les équations différentielles : \[\begin{array}{lcc}y''+qy=0&&(E_1)\\z''+rz=0&&(E_2)\end{array}\]

1. Soient \(x_0\) et \(x_1\) deux zéros consécutifs de \(y\), solution non nulle de \((E_1)\). Peut-on avoir \(y'(x_0)=0\) ou \(y'(x_1)=0\) ? Que dire des signes de \(y'(x_0)\) et \(y'(x_1)\) ?

2. Soit \(z\) une solution de \((E_2)\). On note \(w(x)=y(x)z'(x)-y'(x)z(x)\). Calculer \(w'(x)\) et exprimer \(w(x_1)-w(x_0)\).

3. Montrer que pour tout \(z\) solution de \((E_2)\), \(z\) s’annule entre \(x_0\) et \(x_1\).

4. Montrer que toute solution de \((E_1)\) est proportionnelle à \(y\) ou alors qu’elle s’annule entre \(x_0\) et \(x_1\).

   Application : Soit \(y\) une solution de l’équation \(y''+e^{x^2}y=0\). La fonction \(y\) s’annule-t-elle ?

[concours/ex2393] mines M 1995 Soient \(f\) et \(g\) continues de \([a,b]\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbf{R}_-\). Montrer que l’équation différentielle \(y''+f(x)y=g(x)\) possède une et une seule solution sur \([a,b]\) vérifiant \(y(a)=y(b)=0\).

[oraux/ex3041] mines PC 2009 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) : \(y''+qy=0\). Soient \(u\) et \(v\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\).

1. Montrer que les zéros de \(v\) sont isolés.

2. Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(v\), \(u\) s’annule exactement une fois.

[concours/ex0810] mines MP 1997 Soit l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-f(x)y=g(x)\) avec \(f\), \(g\in\mathscr{C}([a,b],\mathbf{R})\) et \(f\geqslant 0\).

1. Montrer qu’il existe au plus une solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\).

2. Montrer qu’il existe deux solutions \(u\) et \(v\) de \(y''-f(x)y=0\) vérifiant les conditions \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).

3. Montrer qu’il existe une unique solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\) et l’exprimer à l’aide de \(u\) et \(v\).

[oraux/ex3119] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle ouvert non vide de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_+)\) et \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Soient \((E_1)\) : \(y''-a(x)y=0\) et \((E_2)\) : \(y''-a(x)y=b(x)\).

1. Soit \(y\) une solution de \((E_1)\). On suppose qu’il existe \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\) tel que \(y(x_1)=y(x_2)=0\). Calculer \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}y(x)^2a(x)\,dx\). Que dire de \(y\) ?

2. Soient \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\).

   1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E_2)\) telle que \(y_1(x_1)=0\) et \(y_1'(x_1)=1\).

   2. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_2\) de \((E_2)\) telle que \(y_2(x_1)=y_2(x_2)=0\).