Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2955] polytechnique MP 2008 Soit \(q\) une fonction réelle continue sur \(\mathbf{R}\) et ne prenant que des valeurs strictement négatives. On considère l’équation différentielle \(x''+q(t)x=0\).

1. Montrer que la seule solution bornée sur \(\mathbf{R}\) est la fonction nulle.

2. Montrer qu’une solution non nulle s’annule au plus une fois sur \(\mathbf{R}\).

[oraux/ex5641] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}^-)\) non identiquement nulle, \((a,b)\in (\mathbf{R}^{+*})^2\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).

1. Justifier l’existence d’une unique solution \(y_0\) de \((E)\) vérifiant \(y_0(0)=a\) et \(y'_0(0)=0\).

2. Résoudre l’équation différentielle \(Y''-b^2\,Y=0\) avec \(Y(0)=a\) et \(Y'(0)=0\).

3. Montrer que \(y_0^2\) est convexe.

4. La fonction \(y_0\) admet-elle deux zéros distincts ? Est-elle bornée ?

5. Montrer que \(y_0\) est minorée par \(a\) et convexe.

6. On suppose \(q\leqslant-b^2\). Montrer que \(y_0\geqslant Y\).

[concours/ex1714] polytechnique MP 1999 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, positive et \(y\) solution de \((E)\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).

1. Montrer que \(y^2\) est convexe. Peut-elle être bornée ?

2. On suppose que \(y\) n’est pas nulle. Montrer que \(y\) et \(y'\) s’annulent au plus une fois.

3. Montrer que \(\displaystyle{y^2(x)\over x}\) a une limite finie en \(+\infty\).

[planches/ex0966] centrale PSI 2013 (avec Maple)

Soient \(g:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbf{R}\) continue et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-2y'+y=g\).

1. Quelle est la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) ?

   Déterminer cet ensemble avec \(g:x\mapsto1/x^2\). Les solutions obtenues sont-elles prolongeables par continuité à droite en 0 ?

   Déterminer l’ensemble des solutions de \((E)\) pour \(g:x\mapsto-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\). Les solutions obtenues sont-elles prolongeables par continuité à droite en 0 ? Les solutions obtenues sont-elles prolongeables de classe \(\mathscr{C}^1\) en 0 ?

2. Soit \(S\) l’ensemble des solutions de classe \(\mathscr{C}^0\) de \((E)\) et \(S_1\) le sous-ensemble de \(S\) formé des solutions de classe \(\mathscr{C}^1\). Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(g\) pour que \(S=S_1\).

3. Dans cette question, \(g=g_\alpha:x\mapsto x^\alpha\). Déterminer les \(\alpha\) pour lesquels \(S_1=S\).

4. Montrer qu’il existe une unique solution de \((E)\) telle que \(y(0)=y'(0)=0\).

[concours/ex1319] mines MP 1998 Soit \(I\) un intervalle non vide de \(\mathbf{R}\), et \(p\in\mathscr{C}(I,\mathbf{C})\). Soit \(u\) une solution de \(y''+py=0\).

1. On suppose que, pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits p(t)\leqslant 0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).

2. On suppose que pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits p(t)\neq0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).

[oraux/ex3122] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(q\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Si \(f\) est solution de \(E\), montrer que \(f^2\) est convexe.

2. Montrer que toute solution non identiquement nulle de \((E)\) s’annule au plus une fois.

[planches/ex1096] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+^*)\). On cherche s’il existe des solutions non nulles bornées de l’équation \((E)\) : \(y''-q(x)y=0\).

1. Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer qu’on peut supposer l’existence d’un réel \(a\) tel que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\).

2. Montrer que, pour tout \(x\geqslant a\), \(f'(x)\geqslant f'(a)\).

3. Conclure.

[oraux/ex3169] centrale MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) et \(E\) l’ensemble des solutions de l’équation \(y''-qy=0\).

1. Justifier l’existence de la solution \(y_s\) telle que \(y_s(0)=1\) et \(y'_s(0)=s\).

2. Montrer que si \(y\in E\) alors \(y^2\) est convexe.

3. Montrer que \(y_1\geqslant 1\) sur \(\mathbf{R}_+\) puis que \(\displaystyle{1\over y_1^2}\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

4. Montrer que \(Y:x\mapsto y_1(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over y_1(t)^2}\) est une solution bornée de \(E\).

   Indication : Montrer que \(\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over y_1(t)^2}\leqslant\displaystyle\int_x^{+\infty}{y_1'(t)\over(y_1-t)^2}\,dt\).

5. Montrer qu’il existe un unique \(s_0\in\mathbf{R}\) tel que \(y_{s_0}\) ne s’annule pas et soit bornée sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(y_{s_0}\) et sa dérivée convergent en \(+\infty\).

6. Que dire de la limite de \(y_s\) si \(s>s_0\) ? si \(s<s_0\) ?

[equadiff/ex0107] Soit l’équation \(x''+q(t)x=0\) avec \(q\) continue et négative sur \(\mathbf{R}\). Montrer qu’une solution de \((E)\) qui admet deux zéros est identiquement nulle.

[planches/ex0935] polytechnique, ens cachan PSI 2013 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''(x)+q(x)y(x)=0\) où \(q\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle et négative.

1. 1. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution positive de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est convexe.

   2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y^2\) est convexe.

2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution bornée de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\). Montrer que \(y\) est identiquement nulle.

3. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une solution de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\).

   1. Montrer que pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(|y(x)|\geqslant 1\), puis \(y(x)\geqslant 1\).

   2. Montrer que \(y\) est convexe.