Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3051] centrale MP 2009 (avec Maple)

Soient \((E)\) : \((1-x)^3y''=y\) et \(y\) l’unique solution de \((E)\) définie sur \(I=\left]-\infty,1\right[\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\).

1. Justifier l’existence de \(y\) ; tracer le graphe de \(y\) à l’aide de la fonction odeplot du package plots.

2. On pose \(a_n=y^{(n)}(0)/n\,!\). Établir que \((a_n)\) vérifie une relation de récurrence liant \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(a_{n-1}\) et \(a_{n-3}\).

3. calculer \(a_n\) pour \(n\in\{0,\ldots,10\}\).

4. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(|a_n|\leqslant\alpha^n\). Qu’en déduire sur \(y\) ?

5. Montrer que \(y\) est positive sur \(\left[0,1\right[\).

6. En déduire que \(y(x)\geqslant x+\displaystyle\int_0^x{x-t\over(1-t)^2}\,dt\).

7. Calculer cette intégrale avec Maple. Qu’en déduire sur le comportement de \(y\) ?

[planches/ex0957] centrale MP 2013 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}_+)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''=q(x)y\).

1. Soit \(f\) une solution de \((E)\) telle que \(f(a)>0\) et \(f'(a)>0\). Montrer que \(f\) et \(f'\) sont strictement positives et que \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\).

2. Soient \(u\) et \(v\) les solutions de \((E)\) telles que \(u(a)=1\), \(u'(a)=0\), \(v(a)=0\), \(v'(a)=1\). Calculer \(u'v-uv'\). Montrer que, sur \(\left]a,+\infty\right[\), \(u/v\) et \(u'/v'\) sont monotones de monotonies opposées. Montrer que \(u/v\) et \(u'/v'\) tendent en \(+\infty\) vers la même limite réelle.

3. Montrer qu’il existe une unique solution \(g\) de \((E)\), strictement positive, telle que \(g(a)=1\) et telle que \(g\) décroisse sur \(\left[a,+\infty\right[\).

4. Déterminer \(g\) lorsque \(q(x)=\displaystyle{1\over x^4}\) sur \(\left[1,+\infty\right[\). On pourra poser \(y(x)=xz(1/x)\).

[planches/ex1596] ens PSI 2017 Soit \(f\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R})\) et \(c\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R}_+)\). On considère le problème aux limites : \[(1)\qquad-u''(x)+c(x)u(x)=f(x),\quad u(0)=u(1).\]

1. Pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère le système : \[(2)\qquad-u_\lambda(x)+c(x)u_\lambda(x)=f(x),\quad u_\lambda(0)=0,\quad u_\lambda(0)=\lambda.\] Montrer que \((2)\) possède une unique solution \(u_\lambda\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).

2. En déduire qu’il existe une unique solution de \((1)\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).

   Indication : On pourra montrer que \(\varphi:\lambda\mapsto u_\lambda(1)\) est affine.

3. Montrer que si \(f\geqslant 0\), alors \(u\geqslant 0\).

[oraux/ex2784] mines 2003 Soit \(\lambda>0\). On considère l’équation différentielle : \[(E)\qquad y''=-y+\lambda y'(1-y^2).\] On note \(\varphi:I\rightarrow\mathbf{R}\) une solution maximale de \((E)\). On pose \(g=\varphi^2+(\varphi')^2\).

1. Montrer que \(g'\leqslant 2\lambda g\).

   Soit \(a\in I\).

2. Soit \(x\in\left[a,+\infty\right[\cap I\). Montrer que \(g(x)\leqslant g(a)e^{2\lambda(x-a)}\).

3. Montrer que \(I\supset\left[a,+\infty\right[\).

[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).

[planches/ex9503] polytechnique MP 2023 Soient \(q_1\), \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}^+\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(q_1\leqslant q_2\). On considère l’équation différentielle \((E_i)\) : \(y''+q_i(t)\, y=0\) pour \(i\in\{1,2\}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\) des solutions respectives de \((E_1)\) et \((E_2)\) sur \(I\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros de \(y_1\). Montrer que \(y_2\) s’annule dans \([\alpha,\beta]\).

2. Soient \(q:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(m\), \(M\) deux réels strictement positifs tels que \(m\leqslant q\leqslant M\). Soient \(\alpha<\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle \(x\) de \(y''+q(t)\,y=0\).

   1. Montrer que les zéros de \(x\) forment une suite strictement croissante \((t_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

   2. Montrer que \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leqslant t_{n+1}-t_n\leqslant\frac{\pi}{\sqrt{m}}\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

[examen/ex1382] polytechnique MP 2024

1. Soit \(f\in \mathscr{C}^1([0,\pi], \mathbf{R})\) telle que \(f(0)=f(\pi)=0\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^{\pi}f^2\leqslant\frac{\pi^2}{8}\int_0^{\pi}(f')^2\).

2. Soit \(f\), \(q\in \mathscr{C}^0([0,\pi], \mathbf{R})\) telle que \(\forall x\in[0,\pi]\), \(q(x)<\displaystyle\frac{8}{\pi^2}\). Soient \(a\), \(b\in \mathbf{R}\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(y\in \mathscr{C}^2([0,\pi], \mathbf{R})\) telle que \(y''+qy=f\), \(y(0)=a\), \(y(\pi)=b\).

[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).

1. Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.

2. Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).

[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.

1. Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).

2. Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).

3. Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).

[planches/ex1597] ens PSI 2017 Si \(x\) est un nombre réel, on note \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) la partie fractionnaire de \(x\). Soient \(\theta\in\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}\) et \(f:\mathbf{N}\rightarrow\left[0,1\right[\), \(n\mapsto\{n\theta\}\).

1. Montrer que \(f\) est injective.

2. Montrer que : \(\forall\varepsilon>0\), \(\exists(m,n)\in\mathbf{N}^2\), \(m\neq n\) et \(0<f(m)-f(n)<\varepsilon\).

3. En déduire que \(\{x\in\mathbf{R},\ \exists(a,b)\in\mathbf{Z}^2,\ x=a+b\theta\}\) est dense dans \(\mathbf{R}\).

   On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+2y'+2y=f\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) est non constante. On suppose que \((E)\) possède deux solutions périodiques \(y_1\) et \(y_2\) de périodes respectives \(T_1\) et \(T_2\). On se propose de montrer que \(y_1=y_2\).

4. Montrer que \(T_1/T_2\) est un nombre rationnel.

5. Montrer que la fonction \(y_2-y_1\) est bornée.

6. Montrer que \(y_2=y_1\).